Question

如圖所示，AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，AO交⊙O于點(diǎn)C，過C點(diǎn)的切線交AB于點(diǎn)D．若AD=3BD，CD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：連結(jié)OB，根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)得到DB=DC=2，∠ABO=∠ACD=90°，則AD=3BD=6，AB=AD+BD=8，在RtACD中根據(jù)勾股定理求得AC，然后通過三角形相似，對應(yīng)邊成比例即可求得．

解答：解：連結(jié)OB，如圖，
∵AB、CD是⊙O的切線，
∴DB=DC=2，OB⊥AB，CD⊥OA，
∴∠ABO=∠ACD=90°，AD=3BD=6，
∴AB=AD+BD=4BD=4×2=8，
在RtACD中，∵CD=2，AD=6，
∴AC=

AD2-DC2

=

62-22

=4

2

，
∵∠ABO=∠ACD=90°，∠OAB=∠DAC，
∴△OAB∽△DAC，
∴

OB

DC

=

AB

AC

，即

OB

2

=

8

4 2

，
解得，OB=2

2

，
即⊙O的半徑為2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理和三角形相似的判定和性質(zhì)．