【題目】如圖,E是正方形ABCD對角線BD上一點,EM⊥BC,EN⊥CD垂足分別是求M、N
(1)求證:AE=MN;
(2)若AE=2,∠DAE=30°,求正方形的邊長.
【答案】
(1)
證明:連接EC.
∵四邊形ABCD是正方形,EM⊥BC,EN⊥CD,
∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°,
∴四邊形EMCN為矩形.
∴MN=CE.
又∵BD為正方形ABCD的對角線,
∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中
∵ ,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=EC.
∴AE=MN.
(2)
解:過點E作EF⊥AD于點F,
∵AE=2,∠DAE=30°,
∴EF= AE=1,AF=AEcos30°=2× = .
∵BD是正方形ABCD的對角線,
∴∠EDF=45°,
∴DF=EF=1,
∴AD=AF+DF= +1,即正方形的邊長為 +1.
【解析】(1)連接EC,根據(jù)題意可得出四邊形EMCN為矩形,故MN=CE,再由SAS定理得出△ABE≌△CBE,進而可得出結(jié)論;(2)過點E作EF⊥AD,由直角三角形的性質(zhì)可得出EF及AF的長,再由等腰直角三角形的性質(zhì)得出DF的長,進而可得出結(jié)論.
【考點精析】利用正方形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A的坐標(biāo)為(0,﹣1),點C(m,0)是x軸上的一個動點.
(1)如圖1,點B在第四象限,△AOB和△BCD都是等邊三角形,點D在BC的上方,當(dāng)點C在x軸上運動到如圖所示的位置時,連接AD,請證明△ABD≌△OBC;
(2)如圖2,點B在x軸的正半軸上,△ABO和△ACD都是等腰直角三角形,點D在AC的上方,∠D=90°,當(dāng)點C在x軸上運動(m>1)時,設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),請?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(3)如圖3,四邊形ACEF是菱形,且∠ACE=90°,點E在AC的上方,當(dāng)點C在x軸上運動(m>1)時,設(shè)點E的坐標(biāo)為(x,y),請?zhí)角髖與x之間的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“丹棱凍粑”是眉山著名特色小吃,產(chǎn)品暢銷省內(nèi)外,現(xiàn)有一個產(chǎn)品銷售點在經(jīng)銷時發(fā)現(xiàn):如果每箱產(chǎn)品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱產(chǎn)品漲價1元,日銷售量將減少2箱.
(1)現(xiàn)該銷售點每天盈利600元,同時又要顧客得到實惠,那么每箱產(chǎn)品應(yīng)漲價多少元?
(2)若該銷售點單純從經(jīng)濟角度考慮,每箱產(chǎn)品應(yīng)漲價多少元才能獲利最高?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商品漲價30%后欲恢復(fù)原價,則必須下降的百分?jǐn)?shù)約為( )
A.20%
B.21%
C.22%
D.23%
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以∠AOB的頂點O為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,交OA于點C,交OB于點D,再分別以點C,D為圓心,大于 CD的長為半徑畫弧,兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點E,過點E作射線OE,連接CD.則下列說法錯誤的是( )
A.射線OE是∠AOB的平分線
B.△COD是等腰三角形
C.O,E兩點關(guān)于CD所在直線對稱
D.C,D兩點關(guān)于OE所在直線對稱
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】情境觀察:
(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點F. ①寫出圖1中所有的全等三角形;
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是 .
(2)如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點E. 求證:AE=2CD.
(3)如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證:DF=2CE. 要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.
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