【題目】情境觀察:
(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分別為D、E,CD與AE交于點F. ①寫出圖1中所有的全等三角形
②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是
(2)如圖2,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足為D,AD與BC交于點E. 求證:AE=2CD.
(3)如圖3,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,點D在AC上,∠EDC= ∠BAC,DE⊥CE,垂足為E,DE與BC交于點F.求證:DF=2CE. 要求:請你寫出輔助線的作法,并在圖3中畫出輔助線,不需要證明.

【答案】
(1)△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;AF=2CE 問題探究:
(2)證明:延長AB、CD交于點G,如圖2‘所示:

∵AD平分∠BAC,

∴∠CAD=∠GAD,

∵AD⊥CD,

∴∠ADC=∠ADG=90°,

在△ADC和△ADG中,

∴△ADC≌△ADG(ASA),

∴CD=GD,即CG=2CD,

∵∠BAC=45°,AB=BC,

∴∠ABC=90°,

∴∠CBG=90°,

∴∠G+∠BCG=90°,

∵∠G+∠BAE=90°,

∴∠BAE=∠BCG,

在△ABE和△CBG中,

∴△ADC≌△CBG中(ASA),

∴AE=CG=2CD

拓展延伸:


(3)解:作DG⊥BC交CE的延長線于G,

如圖3所示.


【解析】情境觀察:解:①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB;所以答案是:△ABE≌△ACE,△ADF≌△CDB②線段AF與線段CE的數(shù)量關(guān)系是:AF=2CE;所以答案是:AF=2CE. 情境觀察:①由全等三角形的判定方法容易得出結(jié)果;②由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;問題探究:延長AB、CD交于點G,由ASA證明△ADC≌△ADG,得出對應(yīng)邊相等CD=GD,即CG=2CD,證出∠BAE=∠BCG,由ASA證明△ADC≌△CBG,得出AE=CG=2CD即可.拓展延伸:作DG⊥BC交CE的延長線于G,同上證明三角形全等,得出DF=CG即可.

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