【題目】如圖1,ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,點(diǎn)D、F分別在AB、AC邊上,此時(shí)BD=CF,BDCF成立.

(1)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長(zhǎng)BDCF于點(diǎn)G.

①求證:BDCF; ②當(dāng)AB=4,AD=時(shí),求線段BG的長(zhǎng).

【答案】(1) BD=CF成立,證明見(jiàn)解析;(2證明見(jiàn)解析;②FG=.

【解析】試題分析:(1)證明線段相等的常用方法是三角形的全等,直觀上判 斷BD=CF,而由題目條件,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中出

現(xiàn)了兩個(gè)三角形△BAD△CAF,并且包含了要證明相等的兩條線段BDCF,∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,四邊形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°,只差?yuàn)A角相等,在Rt△BAC中,∠BAD+∠DAC=90°∠CAF+∠DAC="90°," ∴∠BAD="∠CAF," ∴△BAD≌△CAF, BD=CF.2要證明BD⊥CF,只要證明∠BGC=90°,即∠GBC+∠BCG=∠GBC+∠ACF+∠ACB=90°,Rt△BAC中,∠ABC+

∠ACB=∠ABG+∠GBC+∠BCA=90°,有(1)知,∠ACF=∠ABG,所以∠GBC+∠ACF+∠ACB=∠GBC+

ABG +ACB =90°,所以BDCF.求線段的方法一般是三角形的全等和勾股定理,題目中沒(méi)有和FG直接相關(guān)的線段,而CG從已知條件中又無(wú)法求出,所以需要作輔助線,連接FD,交AC于點(diǎn)N, 在正方形ADEF中,AD=DE=, AN="1," CN=3,由勾股定理CF=,設(shè)FG=x,CG=,在RtFGD中,FD=2,GD=RtBCG中,,

,解之得FG=.

試題解析:解法一:

如圖,連接FD,交AC于點(diǎn)N,

在正方形ADEF中,AD=DE=,

∴AN=FN=AE=1,FD=2,

在等腰直角△ABC 中,AB=4,∴CN=AC-AN=3,

Rt△FCN中,,

∵△BAD≌△CAF(已證),∴BD=CF=,

設(shè)FG=,在Rt△FGD中,∵FD=2,∴GD=,

∵CF=,∴CG=,

在等腰直角△ABC 中,AB=AC=4,

,

Rt△BCG中,,

,

整理,得,

解之,得(不合題意,故舍去)

∴FG=.

解法二:

如圖,連接FD,交AC于點(diǎn)N;連接CD,

同解法一,可得:DG=,CG=

易證△ACD≌△ABDSAS),可得CD=BD=

Rt△CGD中,,

解之,得,FG=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖:(1)當(dāng)線段AB平行于投影面P時(shí),它的正投影是線段A1B1,線段與它的投影的大小關(guān)系為AB

___A1B1;

(2)當(dāng)線段AB傾斜于投影面P時(shí),它的正投影是線段A2B2,線段與它的投影的大小關(guān)系為AB___A2B2;

(3)當(dāng)線段AB垂直于投影面P時(shí),它的正投影是______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,△ABC在直角坐標(biāo)系中,

1)請(qǐng)寫(xiě)出△ABC各點(diǎn)的坐標(biāo).

2)求出△ABC的面積.

3)若把△ABC向上平移2個(gè)單位,再向右平移2個(gè)單位得△ABC′,在圖中畫(huà)出△ABC變化位置。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合,將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),兩邊分別交直線BC,CD于點(diǎn)M、N.

(1)如圖①,當(dāng)M、N分別在邊BC,CD上時(shí),作AE垂直于AN,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,求證:ABE≌△ADN;

(2)如圖②,當(dāng)M、N分別在邊CB,DC的延長(zhǎng)線上時(shí),求證:MN+BM=DN;

(3)如圖③,當(dāng)M、N分別在邊CB,DC的延長(zhǎng)線上時(shí),作直線BD交直線AM、ANP、Q兩點(diǎn),若MN=10,CM=8,求AP的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】今年10,某公司隨機(jī)抽取所屬的a家連鎖店進(jìn)行評(píng)估,將各連鎖店按照評(píng)估成績(jī)分成了A、B、C、D四個(gè)等級(jí),繪制了如圖尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表

根據(jù)以上信息解答下列問(wèn)題

(1)求a的值;

(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,B等級(jí)所在扇形的圓心角的大小;(結(jié)果用度、分、秒表示)

(3)從評(píng)估成績(jī)不少于80分的連鎖店中任選2家介紹營(yíng)銷經(jīng)驗(yàn)求其中至少有一家是A等級(jí)的概率

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了提高學(xué)生閱讀能力,我區(qū)某校倡議八年級(jí)學(xué)生利用雙休日加強(qiáng)課外閱讀,為了解同學(xué)們閱讀的情況,學(xué)校隨機(jī)抽查了部分同學(xué)周末閱讀時(shí)間,并且得到數(shù)據(jù)繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖中信息回答下列問(wèn)題:

1)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;被調(diào)查的學(xué)生周末閱讀時(shí)間眾數(shù)是多少小時(shí),中位數(shù)是多少小時(shí);

2)計(jì)算被調(diào)查學(xué)生閱讀時(shí)間的平均數(shù);

3)該校八年級(jí)共有500人,試估計(jì)周末閱讀時(shí)間不低于1.5小時(shí)的人數(shù).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,∠AOB的一邊OA為平面鏡,∠AOB37°,在OB上有一點(diǎn)E,從E點(diǎn)射出一束光線經(jīng)OA上一點(diǎn)D反射,此時(shí)∠ODE=∠ADC,且反射光線DC恰好與OB平行,則∠DEB的度數(shù)是___

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn),A、C分別在xy軸的正半軸上,頂點(diǎn)B8,6),直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)ABCD、交y軸于點(diǎn)M,點(diǎn)PAD的中點(diǎn),直線OPAB于點(diǎn)E

1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線OP的解析式;

2)求△ODP的面積,并在直線AD上找一點(diǎn)N,使△AEN的面積等于△ODP的面積,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)

3)在x軸上有一點(diǎn)Tt,0)(5t8),過(guò)點(diǎn)Tx軸的垂線,分別交直線OE、AD于點(diǎn)FG,在線段AE上是否存在一點(diǎn)Q,使得△FGQ為等腰直角三角形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及相應(yīng)的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,有一塊含30°角的直角三角板OAB的直角邊BO的長(zhǎng)恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長(zhǎng)相等,把這兩塊三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中,且OB=3.

(1)若某反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)分支恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;

(2)若把含30°角的直角三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后,斜邊OA恰好落在x軸上,點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處,試求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)

【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=;(2)S陰影=6π-.

【解析】分析:(1)根據(jù)tan30°=,求出AB,進(jìn)而求出OA,得出A的坐標(biāo),設(shè)過(guò)A的雙曲線的解析式是y=,把A的坐標(biāo)代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根據(jù)扇形的面積公式求出扇形AOA′的面積,求出OD、DC長(zhǎng),求出△ODC的面積,相減即可求出答案.

本題解析:

(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,

∴AB=OB·tan 30°=3.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,3).

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= (k≠0),

∴3,∴k=9,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=.

(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,

sin ∠AOB=,即sin 30°=

∴OA=6.

由題意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′=6π.

Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3

∴OD=OC·cos 45°=3×.

∴SODCOD2.

∴S陰影=S扇形AOA′-SODC=6π.

點(diǎn)睛:本題考查了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積及等腰三角形的性質(zhì),本題屬于中檔題,難度不大,將不規(guī)則的圖形的面積表示成多個(gè)規(guī)則圖形的面積之和是解答本題的關(guān)鍵.

型】解答
結(jié)束】
26

【題目】矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處.

(1)如圖①,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP,OP,OA.

① 求證:△OCP∽△PDA;

② 若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊AB的長(zhǎng).

(2)如圖②,在(1)的條件下,擦去AO和OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)P,A重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)M,N在移動(dòng)的過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度;若變化,說(shuō)明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案