Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，AC=6，D是AB邊上的一點(diǎn)，P是優(yōu)弧

BAC

中點(diǎn)，連線PA、PB、PC、PD．
（1）當(dāng)AD的長度為多少時(shí)△PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并證明；
（2）若cos∠PCB=

3

3

，求PA的長．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等弧對等弦以及全等三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行求解；
（2）過點(diǎn)P作PE⊥AD于E．根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識和垂徑定理進(jìn)行求解

解答：解：（1）當(dāng)AD=2時(shí)，△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．
∵P是優(yōu)弧BAC的中點(diǎn)，
∴弧PB=弧PC，
∴PB=PC，
又∵∠PBD=∠PCA（圓周角定理），
∴當(dāng)BD=8-2=6=AC，
在△PBD和△PCA中，

PB=PC ∠PBD=∠PCA BD=AC

，
∴△PBD≌△PCA（SAS）．
∴PA=PD，即△PAD是以AD為底邊的等腰三角形．
（2）過點(diǎn)P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，
當(dāng)BD=4時(shí)，PD=PA，AD=AB-BD=6-4=2，
則AE=

1

2

AD=1．
∵∠PCB=∠PAD（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），
∴cos∠PAD=cos∠PCB=

AE

PA

=

1

PA

=

3

3

，
∴PA=

3

．

點(diǎn)評：綜合運(yùn)用了等弧對等弦的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的知識以及垂徑定理．