Question

【題目】如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，連接BC、CM、BM，求△BCM的面積；

（3）連接AC，在x軸上是否存在點(diǎn)P使△ACP為等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(－1，0)、B(5，0)、C(0，2)；（2）6；（3）存在、、三點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是(－1－，0)，(－1，0)，(，0)，．

【解析】

（1）令y=0求A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，令x=0求C點(diǎn)縱坐標(biāo)；

（2）由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求M點(diǎn)坐標(biāo)，過M作MN垂直y軸于N，根據(jù)S△BCM=SOBMN-S△OBC-S△MNC求△BCM的面積；

（3）根據(jù)AC為腰，AC為底兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)．當(dāng)AC為腰時(shí)，分為A為等腰三角形的頂點(diǎn)，C為等腰三角形的頂點(diǎn)，兩種情況求P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為底時(shí)，作線段AC的垂直平分線交x軸于P點(diǎn)，利用三角形相似求OP．

解：（1）令x2+x+2=0，

解得：=－1，=5，

令x=0，則y=2，

∴A、B、C的坐標(biāo)分別是：A(－1，0)、B(5，0)、C(0，2)；

（2）∵

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是M(2，)，

過M作MN垂直y軸于N，

∴△BCM的面積=－－

=(2+5)×－×5×2－×(－2)×2=6；

（3）存在

當(dāng)以AC為腰時(shí)，在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)分別為，，

∵

則=1+，=－1，

∴，的坐標(biāo)分別是：(－1－，0)，(－1，0)；

當(dāng)以AC為底時(shí)，作AC的垂直平分線交x軸于，交y軸于F，垂足為E，

∴CE=，

易證△CEF∽△COA，

∴，

∴，

∴CF=，

∴OF=OC－CF=2－=，

∴EF=

又△CEF∽△OF，

∴，

∴，

則的坐標(biāo)為(，0)；

當(dāng)以AC為腰時(shí)，點(diǎn)C為頂點(diǎn)時(shí)，有AC=PC，

則點(diǎn)P4為（1，0）；

∴存在、、三點(diǎn)，它們的坐標(biāo)分別是：

(－1－，0)，(－1，0)，(，0)，；