Question

如圖，將邊長為4的等邊△AOB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是AB邊上的動點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）與OA邊交于點(diǎn)E，連結(jié)EF、OF．
（1）若S_△OBF=

4

5

3

，求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)N（-

2

5

，0）作直線NM平行于y軸，以點(diǎn)E為圓心，EA長為半徑的圓與直線NM交于點(diǎn)Q，與EF交于點(diǎn)P，求證直線NM與⊙E相切；
（3）連接AQ、PQ，在（1）的條件下，求∠AQP的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，由△AOB是邊長為4的等邊三角形，S_△OBF=

4

5

3

，可求得FM的長，再由三角函數(shù)，即可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）首先過點(diǎn)E作EG⊥OB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥NQ于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)E（x，

3

x），繼而求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，則可求得AE的長，繼而可證得AE=EH，證得直線NM與⊙E相切；
（3）首先利用勾股定理的逆定理證得△AEF是直角三角形，然后利用圓周角定理，求得∠AQP的度數(shù)．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，
∵△AOB是邊長為4的等邊三角形，
∴OB=OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠OAB=60°，
∵S_△OBF=

4

5

3

，
∴

1

2

OB•FM=

1

2

×4×FM=

4

5

3

，
解得：FM=

2

5

3

，
∴BM=

FM

tan∠ABO

=

2

5

3

÷

3

=

2

5

，
∴AM=AB-BM=4-

2

5

=

18

5

，
∴點(diǎn)F（

18

5

，

2

5

3

），
∴k=xy=

18

5

×

2

5

3

=

36 3

25

，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=

36 3

25x

；

（2）如圖2，過點(diǎn)E作EG⊥OB于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作EH⊥NQ于點(diǎn)H，
設(shè)點(diǎn)E（x，

3

x），
∵過點(diǎn)F的反比例函數(shù)y=

36 3

25x

（x＞0）與OA邊交于點(diǎn)E，
∴

3

x=

36 3

25x

，
解得：x=

6

5

，
∴點(diǎn)E（

6

5

，

6 3

5

），
∴OE=2OG=

12

5

，
∴AE=4-OE=4-

12

5

=

8

5

，
∵過點(diǎn)N（-

2

5

，0）作直線NM平行于y軸，
∴EH=

2

5

+

6

5

=

8

5

，
∴EH=AE，
∴直線NM與⊙E相切．

（3）∵BF=2BM=

4

5

，
∴AF=AB-BF=4-

4

5

=

16

5

，
∵點(diǎn)E（

6

5

，

6 3

5

），點(diǎn)F（

18

5

，

2

5

3

），
∴EF²=（

18

5

-

6

5

）²+（

2

5

3

-

6

5

3

）²=

192

25

，
∵AE=

8

5

，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEP=90°，
∴∠AQP=

1

2

∠AEP=45°．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、切線的判定以及勾股定理的逆定理等知識．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．