Question

如圖，在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對折起來，折疊后兩個小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

1

4

，有如下結(jié)論：
①BC的邊長等于a；
②折疊前的△ABC的面積可以等于

3

2

a²；
③折疊前的△ABC的面積可以等于

3

3

a²；
④折疊后，以A、B為端點的線段與中線CD一定平行且相等．
其中正確的結(jié)論是（　　）

• A、①③
• B、①②④
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：設(shè)B′D與AC相交于O，根據(jù)三角形的中線把三角形分成的兩個三角形面積相等可得S_△ACD=S_△BCD=

1

2

S_△ABC，然后根據(jù)重疊部分的面積求出點O是AC、B′D的中點，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ADCB′是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，判斷出④正確；再求出四邊形BCB′D是平行四邊形，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BC=B′C，然后求出平行四邊形BCB′D是菱形，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BC=BD=a，判斷出①正確；假設(shè)S_△ABC=

3

2

a²成立，再由平行四邊形的性質(zhì)及三角形的面積公式求解，得出②正確，根據(jù)三角形的面積公式求出點C到AB的距離是

3

3

a²，然后解直角三角形求出垂足為AB的中點D，從而確定出翻折后點A、B重合，不符合題意，判斷出③錯誤．

解答：解：如圖，設(shè)B′D與AC相交于O，
∵CD是AB邊的中線，
∴S_△ACD=S_△BCD=

1

2

S_△ABC，
∵重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

1

4

，
∴點O是AC、B′D的中點，
∴四邊形ADCB′是平行四邊形，
∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，故④正確；
∴B′C∥BD，B′C=BD，
∴四邊形BCB′D是平行四邊形，
由翻折變換的性質(zhì)得，BC=B′C，
∴平行四邊形BCB′D是菱形，
∴BC=BD=

1

2

AB=

1

2

×2a=a，故①正確；
若S_△ABC=

3

2

a²，
∵四邊形AB′CD為平行四邊形，
∴S_△COD=

1

2

S_△ACD=

1

4

S_△ABC，滿足條件，即S_△ABC的值可以等于

3

2

a²，故②正確，
假設(shè)折疊前的△ABC的面積可以等于

3

3

a²，
設(shè)點C到AB的距離為h，
則

1

2

×2ah=

3

3

a²，
解得h=

3

3

a，

3

3

a÷tan30°=

3

3

a÷

3

3

=a，
∴垂足為AB的中點D，
∴翻折后點A、B重合，不符合題意，
∴假設(shè)不成立，則③錯誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有①②④．
故選：B．

點評：本題考查的是翻折變換的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等的知識是解答此題的關(guān)鍵．