Question

已知∠ACD=90°，MN是過點(diǎn)A的直線，AC=DC，且DB⊥MN于點(diǎn)B，如圖（1）．易證BD+AB=CB，過程如下：

解：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN   ∴∠ABC+∠CBD=90°，

∵CE⊥CB   ∴∠ABC+∠CEA=90°，

∴∠CBD=∠CEA．

又∵AC=DC，

∴△ACE≌△DCB（AAS），

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB為等腰直角三角形，

∴BE=CB．

又∵BE=AE+AB，

∴BE=BD+AB，

∴BD+AB=CB．

（1）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明．

（2）當(dāng)MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時(shí)，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

（1）AB﹣BD=CB．………2分

證明：過點(diǎn)C作CE⊥CB于點(diǎn)C，與MN交于點(diǎn)E，

∵∠ACD=90°，  ∴∠ACE=90°﹣∠DCE，∠BCD=90°﹣∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE．

∵DB⊥MN，   ∴∠CAE=90°﹣∠AFC，∠D=90°﹣∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，  ∴∠CAE=∠D，

又∵AC=DC，  ∴△ACE≌△DCB，………2分

∴AE=DB，CE=CB，  ∴△ECB為等腰直角三角形，  ∴BE=CB．

又∵BE=AB﹣AE，  ∴BE=AB﹣BD， ∴AB﹣BD=CB．………2分

（2）BD﹣AB=CB．………2分