Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，則說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

【答案】（1）OE=OF．（2）四邊形BCFE不可能是菱形（3）當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且△ABC是以∠ACB為直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．

【解析】

試題分析：（1）利用平行線的性質(zhì)由角相等得出邊相等；

（2）假設(shè)四邊形BCFE，再證明與在同一平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；

（3）利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)證明四邊形AECF是正方形．

解：（1）OE=OF．

證明如下：

∵CE是∠ACB的平分線，

∴∠1=∠2．

∵MN∥BC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OE=OC．

同理可證OC=OF．

∴OE=OF．（3分）

（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若四邊形BCFE為菱形，則BF⊥EC，

而由（1）可知FC⊥EC，在平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．（3分）

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）時(shí)，四邊形AECF是正方形．

理由如下：

∵O為AC中點(diǎn)，

∴OA=OC，

∵由（1）知OE=OF，

∴四邊形AECF為平行四邊形；

∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，

∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，

∴AECF為矩形，

又∵AC⊥EF．

∴AECF是正方形．

∴當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且△ABC是以∠ACB為直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．（3分）