Question

【題目】．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F，連結(jié)BF交AC于點(diǎn)M，連結(jié)DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】C

【解析】試題分析：①利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；②證△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；

③先證△BEF是等邊三角形得出BF=EF，再證DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；④由②可知△BCM≌△BEO，則面積相等，△AOE和△BEO屬于等高的兩個三角形，其面積比就等于兩底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出BE=2OE=2AE，得出結(jié)論S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．

①∵矩形ABCD中，O為AC中點(diǎn)， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等邊三角形， ∴OB=BC，

∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC， 故①正確；

②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC≌△EOA，

∴FO=EO， 易得OB⊥EF， ∴△OMB≌△OEB， ∴△EOB≌△CMB， 故②正確；

③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等邊三角形， ∴BF=EF，

∵DF∥BE且DF=BE， ∴四邊形DEBF是平行四邊形， ∴DE=BF， ∴DE=EF， 故③正確；

④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE，

∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2， 故④錯誤；

所以其中正確結(jié)論的個數(shù)為3個