Question

如圖，在正方形ABCD的一邊上取一點E，使AE=

1

4

AD，從AB的中點O作OK⊥EC于K，判斷OK²=EK•KC是否成立？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：如圖，證明AE：BO=AO：BC，結(jié)合∠A=∠B，得到△AOE∽△BCO；進而證明∠EOC=90°，運用射影定理即可解決問題．

解答：解：OK²=EK•KC成立；理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=AD=BC（設(shè)為λ）；
在△AOE與△BCO中，
∵AE：OB=

1

4

λ：

1

2

λ=1：2，AO：BC=

1

2

λ：λ=1：2，
∴AE：BO=AO：BC，而∠A=∠B，
∴△AOE∽△BCO，
∴∠AOE=∠BCO；而∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠AOE+∠BOC=90°，
∴∠EOC=180°-90°=90°；
∵OK⊥EC，
∴OK²=EK•KC（射影定理）．

點評：該題以正方形為載體，主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)、射影定理等幾何知識點的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用正方形的性質(zhì)等知識點來證明△AOE∽△BCO，進而證明證明△COE為直角三角形．