Question

平面直角坐標系中A（1，4），B（4，1）．
（1）動點P在x軸上，且P到A、B的距離之和最小，求點P的坐標．
（2）若動點P在y軸，當△ABQ周長最小時，求點Q的坐標．
（3）若x軸上有一點P，y軸上有一點Q，四邊形ABPQ的周長是否存在最��？若有請求之，若無請說明理由．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,坐標與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，求出C的坐標，設(shè)直線BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐標代入求出k、b，得出直線BC的解析式，求出直線與x軸的交點坐標即可．
（2）首先作點A關(guān)于y軸的對稱點D連接DB，DB與y軸交點即為Q點，則此時△ABQ周長最小，求出過D，B兩點的直線函數(shù)關(guān)系式，再求出直線與y軸交點坐標即可；
（3）作A點關(guān)于y軸對稱點A′，作B點關(guān)于x軸對稱點B′，進而連接A′B′，交y軸于點Q，交x軸于點P，此時四邊形ABPQ的周長最小，利用勾股定理即可得出答案．

解答：解：（1）如圖1，作A關(guān)于x軸的對稱點C，連接BC交x軸于P，則此時AP+BP最小，
∵A點的坐標為（1，4），B點的坐標為（4，1），
∴C（1，-4），
設(shè)直線BC的解析式是：y=kx+b，
把B、C的坐標代入得：

4k+b=1 k+b=-4

，
解得

k= 5 3 b=- 17 3

．
即直線BC的解析式是y=

5

3

x-

17

3

，
當y=0時，

5

3

x-

17

3

=0，
解得：x=

17

5

，
∴P點的坐標是（

17

5

，0）．

（2）如圖2，作點A關(guān)于y軸的對稱點D（-1，4），連接DB，DB與y軸交點即為Q點，則此時△ABQ周長最��；
設(shè)過D，B兩點的直線函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，
∵D（-1，4）．B（4，1），
∴

-m+n=4 4m+n=1

，
解得：

m=- 3 5 n= 17 5

，
∴過D，B兩點的直線函數(shù)關(guān)系式為y=-

3

5

x+

17

5

；
當x=0時，y=

17

5

，
即：直線DB與y軸交于點（0，

17

5

），
∴Q點坐標是（0，

17

5

）．

（3）如圖3：作A點關(guān)于y軸對稱點A′，作B點關(guān)于x軸對稱點B′，進而連接A′B′，交y軸于點Q，交x軸于點P，此時四邊形ABPQ的周長最小，
∵A點的坐標是（1，4），B點的坐標是（4，1），
∴AB=

(1-4)2+(4-1)2

=3

2

，A′（-1，4），B′（4，-1），
故A′B′=

(-1-4)2+(4+1)2

=5

2

，
則四邊形PABQ的周長最短的值為：3

2

+5

2

=8

2

．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，關(guān)鍵是能找出P、Q點，題目具有一定的代表性，難度適中．