Question

【題目】2017寧夏）在邊長為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點，過點 P分別作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分別為垂足．
（1）求證：不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；
（2）當BP的長為何值時，四邊形AMPN的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AP，過C作CD⊥AB于D，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，

∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，

∴ ABCD= ABPM+ ACPN，

∴PM+PN=CD，

即不論點P在BC邊的何處時都有PM+PN的長恰好等于三角形ABC一邊上的高；

（2）解：設(shè)BP=x，則CP=2﹣x，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵PM⊥AB，PN⊥AC，

∴BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），

∴四邊形AMPN的面積= ×（2﹣ x） x+ [2﹣ （2﹣x）] （2﹣x）=﹣ x2+ x+ =﹣ （x﹣1）2+ ，

∴當BP=1時，四邊形AMPN的面積最大，最大值是

【解析】（1）連接AP，過C作CD⊥AB于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；（2）設(shè)BP=x，則CP=2﹣x，由△ABC是等邊三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM= x，PM= x，CN= （2﹣x），PN= （2﹣x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-2)/4a，以及對等邊三角形的性質(zhì)的理解，了解等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．