【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸的一個交點為A(3,0),與y軸的交點為B(0,3),其頂點為C,對稱軸為x=1.

(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點M為y軸上的一個動點,當△ABM為等腰三角形時,求點M的坐標;
(3)將△AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0<m<3)得到另一個三角形,將所得的三角形與△ABC重疊部分的面積記為S,用m的代數(shù)式表示S.

【答案】
(1)

解:由題意可知,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為(﹣1,0),則

解得

故拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3


(2)

解:依題意:設(shè)M點坐標為(0,t),

①當MA=MB時:

解得t=0,

故M(0,0);

②當AB=AM時:

解得t=3(舍去)或t=﹣3,

故M(0,﹣3);

③當AB=BM時,

解得t=3±3

故M(0,3+3 )或M(0,3﹣3 ).

所以點M的坐標為:(0,0)、(0,﹣3)、(0,3+3 )、(0,3﹣3


(3)

解:平移后的三角形記為△PEF.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,則

,

解得

則直線AB的解析式為y=﹣x+3.

△AOB沿x軸向右平移m個單位長度(0<m<3)得到△PEF,

易得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m.

設(shè)直線AC的解析式為y=k′x+b′,則

解得

則直線AC的解析式為y=﹣2x+6.

連結(jié)BE,直線BE交AC于G,則G( ,3).

在△AOB沿x軸向右平移的過程中.

①當0<m≤ 時,如圖1所示.

設(shè)PE交AB于K,EF交AC于M.

則BE=EK=m,PK=PA=3﹣m,

聯(lián)立 ,

解得 ,

即點M(3﹣m,2m).

故S=SPEF﹣SPAK﹣SAFM

= PE2 PK2 AFh

= (3﹣m)2 m2m

=﹣ m2+3m.

②當 <m<3時,如圖2所示.

設(shè)PE交AB于K,交AC于H.

因為BE=m,所以PK=PA=3﹣m,

又因為直線AC的解析式為y=﹣2x+6,

所以當x=m時,得y=6﹣2m,

所以點H(m,6﹣2m).

故S=SPAH﹣SPAK

= PAPH﹣ PA2

=﹣ (3﹣m)(6﹣2m)﹣ (3﹣m)2

= m2﹣3m+

綜上所述,當0<m≤ 時,S=﹣ m2+3m;當 <m<3時,S= m2﹣3m+


【解析】(1)根據(jù)對稱軸可知,拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一個交點為(﹣1,0),根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.(2)分三種情況:①當MA=MB時;②當AB=AM時;③當AB=BM時;三種情況討論可得點M的坐標.(3)平移后的三角形記為△PEF.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AB的解析式為y=﹣x+3.易得AB平移m個單位所得直線EF的解析式為y=﹣x+3+m.根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式.連結(jié)BE,直線BE交AC于G,則G( ,3).在△AOB沿x軸向右平移的過程中.根據(jù)圖象,易知重疊部分面積有兩種情況:①當0<m≤ 時;②當 <m<3時;討論可得用m的代數(shù)式表示S.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減。粚ΨQ軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小).

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