Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12．求四邊形ABCD的面積和∠DAC的正弦值．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：由∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求得AC的長，又由∠CAB=30°，利用三角函數(shù)的知識即可求得BC與AB的長，然后由S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，求得四邊形ABCD的面積；利用勾股定理即可求得AD的長，繼而求得∠DAC的正弦值．

解答：解：∵∠ABC=90°，AE=CE，EB=12，
∴AC=2BE=24．
∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴BC=

1

2

AC=12，AB=AC•cos30°=12

3

，
∵DE⊥AC，DE=5，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•DE=72

3

+60，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

122+52

=13，
∴sin∠DAC=

DE

AD

=

5

13

．

點評：此題考查了面積與等積變換的知識．注意應用直角三角形的性質、三角函數(shù)以及勾股定理．此題難度適中，注意把四邊形分成兩個三角形求解是解此題的關鍵．