Question

如圖，A（0，8），B（0，2），點(diǎn)E為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)tan∠AEB=m，則m的取值范圍是（　�。�

• A、0＜m≤

  3

  4

• B、0＜m≤

  4

  5

• C、

  1

  2

  ＜m＜

  3

  4

• D、0＜m≤

  3

  5

Answer 1

考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的增減性,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：點(diǎn)E為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)tan∠AEB=m，則m＞0，再求出m的最大值即可．過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓O′與x軸相切時(shí)，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂徑定理得出AD=DB=

1

2

AB=3，OD=OA-AD=5，那么⊙O′的半徑為5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D=

52-32

=4，則AE=

OA2+OE2

=

82+42

=4

5

，再作BC⊥AE于C．由S_△AOE=

1

2

OA•OE=S_△BOE+S_△ABE，求出BC=

6 5

5

，CE=

20- 36 5

=

8 5

5

，那么m的最大值為

BC

CE

=

6 5 5

8 5 5

=

3

4

．

解答：解：如圖，過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓O′與x軸相切時(shí)，∠AEB最大．
作O′D⊥AB于D，則AD=DB=

1

2

AB=3，
∵OA=8，
∴OD=OA-AD=5，
∴O′E=O′A=OD=5，即⊙O′的半徑為5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D=

52-32

=4，
∴OE=O′D=4，
∴AE=

OA2+OE2

=

82+42

=4

5

，
作BC⊥AE于C．
∵S_△AOE=

1

2

OA•OE=S_△BOE+S_△ABE，
∴

1

2

×8×4=

1

2

×2×4+

1

2

×4

5

×BC，
∴BC=

6 5

5

，
∵BE²=OB²+OE²=2²+4²=20，
∴CE=

20- 36 5

=

8 5

5

，
∴m的最大值為

BC

CE

=

6 5 5

8 5 5

=

3

4

，
又∵m＞0，
∴0＜m≤

3

4

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的定義，垂徑定理，勾股定理，三角形的面積，有一定難度，理解過(guò)A、B、E三點(diǎn)的圓與x軸相切時(shí)，m的值最大是解題的關(guān)鍵．