Question

已知：△ABC的中線BD、CE交于點O，F(xiàn)、G分別是OB、OC的中點．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．
（2）若使四邊形DEFG變成矩形，請直接寫出△ABC的邊長應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由三角形中位線的性質(zhì)定理，可得ED∥BC，F(xiàn)G∥BC，且都等于邊長BC的一半，則ED∥FG且ED=FG，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）當AB=AC時，?DEFG變成矩形．連接AO并延長交BC于點M，先由三角形中線的性質(zhì)得出M為BC的中點，當AB=AC時，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出AM⊥BC，再由三角形中位線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形．
解答：（1）證明：∵△ABC的中線BD、CE相交于點O，
∴ED∥BC且ED=BC，
∵F、G分別是OB、OC的中點，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED∥FG且ED=FG，
∴四邊形DEFG是平行四邊形．

（2）解：當AB=AC時，?DEFG變成矩形．理由如下：
連接AO并延長交BC于點M．
∵三角形的三條中線相交于同一點，△ABC的中線BD、CE交于點O，
∴M為BC的中點，
當AB=AC時，AM⊥BC，
∵E，F(xiàn)，G分別是AB，OB，OC的中點，
∴EF∥AO，F(xiàn)G∥BC，
∴EF⊥FG；
∴?EFGH是矩形．
點評：本題考查了平行四邊形、矩形的判定，三角形的中位線性質(zhì)定理，三角形中線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，其中三角形的中位線的性質(zhì)定理為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．