Question

如圖，△ABC和△ADE都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，點B、A、E在同一直線上．

（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）如圖2，設M，N分別是BD，CE的中點，求證：△AMN也是等腰直角三角形；
（3）如圖3，延長BD交CE于H，求證：∠BHA=45°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形腰長相等和頂角為90°的性質即可證明△ABD≌△ACE；
（2）根據(jù)△ABD≌△ACE可得BD=CE，根據(jù)直角三角形中線性質可得AN=AM，再根據(jù)∠MBA=∠MAB即可求得∠MAN=90°，即可解題；
（3）作AM⊥BH，AN⊥CE，即可求得∠MAD=∠NAE，即可求證△AEN≌△ADM，即可解題．

解答：解：（1）在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE=90° AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵M，N分別是BD，CE的中點，BD，CE是RT△ABD和RT△ACE斜邊中點，
∴AM=BM=MD，AN=CN=NE，
∴AM=AN，
∴∠ABM=∠BAM，∠ACN=∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴∠MAN=90°，
∴△AMN為等腰直角三角形；
（3）作AM⊥BH，AN⊥CE，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
∴∠BHE=90°，
∵∠AMH=∠ANH=90°，
∴∠MAN=90°，∵∠CAE=90°，
∴∠MAD=∠NAE，
在△AEN和△ADM中，

∠AEN=∠ADM AD=AE ∠DAM=∠EAN

，
∴△AEN≌△ADM（ASA），
∴AM=AN，
∴矩形AMHN為正方形，
∴∠BHA=45°．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△ABD≌△ACE是解題的關鍵．