Question

（1）問題發(fā)現(xiàn)
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．
填空：
①∠AEB的度數(shù)為

 

；
②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（2）拓展探究
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）解決問題
如圖3，在正方形ABCD中，CD=

2

，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

考點：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,正方形的性質(zhì),圓周角定理

專題：綜合題,壓軸題,探究型

分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．
（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．
（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題．

解答：解：（1）①如圖1，
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．
理由：如圖2，
∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，

CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE

∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）點A到BP的距離為

3 -1

2

或

3 +1

2

．
理由如下：
∵PD=1，
∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．
∵∠BPD=90°，
∴點P在以BD為直徑的圓上．
∴點P是這兩圓的交點．
①當點P在如圖3①所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=

2

，∠BAD=90°．
∴BD=2．
∵DP=1，
∴BP=

3

．
∵∠BPD=∠BAD=90°，
∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，
∴∠APB=∠ADB=45°．
∴△PAE是等腰直角三角形．
又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，
∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD．
∴

3

=2AH+1．
∴AH=

3 -1

2

．
②當點P在如圖3②所示位置時，
連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，
過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．
同理可得：BP=2AH-PD．
∴

3

=2AH-1．
∴AH=

3 +1

2

．
綜上所述：點A到BP的距離為

3 -1

2

或

3 +1

2

．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過添加適當?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問題是解決第（3）的關(guān)鍵．