已知在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=kx+b與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,與雙曲線y=
m
x
相交于點(diǎn)C、D,且點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,6).
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2時,求點(diǎn)C的坐標(biāo)和
CD
AB
的值;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)A落在x軸負(fù)半軸時,過點(diǎn)C作x軸的垂線,垂足為E,過點(diǎn)D作y軸的垂線,垂足為F,連接EF.
①判斷△EFC的面積和△EFD的面積是否相等,并說明理由;
②當(dāng)
CD
AB
=2
時,求點(diǎn)C的坐標(biāo)和tan∠OAB的值;
(3)若tan∠OAB=
1
7
,請直接寫出
CD
AB
的值(不必書寫解題過程)
(1)∵D(1,6)在y=
m
x
上,
∴m=6,即雙曲線解析式是 y=
6
x
,
當(dāng)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2時,縱坐標(biāo)為3,
∴C(2,3).
直線AB過點(diǎn)C(2,3),D(1,6),得
2k+b=3
k+b=6
,
解得:
k=-3
b=9
,
故直線AB的解析式為y=-3x+9.
∴B(0,9),A(3,0),
∴AB=3
10
,
∵C(2,3),D(1,6),
∴CD=
10

CD
AB
=
1
3


(2)①設(shè)C(a,b),則ab=6,
∵S△EFC=
1
2
(-a)(-b)=
1
2
ab=3,而S△EFD=
1
2
×1×6=3,
∴S△EFC=S△EFD;
②∵S△EFC=S△EFD,且兩三角形同底,
∴兩三角形的高相同,
∴EFCD,
∵DFAE,BFCE,
∴四邊形DFEA與四邊形FBCE都是平行四邊形,
∴CE=BF,∠FDB=∠EAC,
在△DFB與△AEC中,
∠DFB=∠AEC
CE=BF
∠FDB=∠EAC
,
∴△DFB≌△AEC,
∴AC=BD,
CD
AB
=2,設(shè)CD=2k,AB=k,DB=
k
2

DB
AB
=
1
2
,
∵∠DFB=∠AOB,∠DBF=ABO,
∴△DFB△AOB,
DF
AO
=
DB
AB
=
BF
BO
=
1
2
,
∵DF=1,
∴OA=2,
∵OF=6,
∴OB=4,
∴tan∠OAB=
BO
AO
=2.
∵OA=2,OB=4,
∴A(-2,0),B(0,4),
∴直線AB的解析式為y=2x+4,
聯(lián)立反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式可得
y=2x+4
y=
6
x

解得:
x=-3
y=-2
,
x=1
y=6

∴C(-3,-2).


(3)如圖2,直線與雙曲線過D點(diǎn)(1,6),帶入雙曲線方程6=
m
1

解得:m=6,
帶入直線方程,6=k+b,b=6-k,
所以直線方程變?yōu)閥=kx+6-k,
∵tan∠OAB=
1
7

∴直線方程的斜率為
1
7
,即k=
1
7
,
∴b=
41
7
,
∴直線方程為y=
1
7
x+
41
7

∴A的坐標(biāo)為(-41,0),B(0,
41
7
),
再將直線方程帶入雙曲線方程有
6
x
=
1
7
x+
41
7
,解得x=1或-42,
當(dāng)x=-42,y=-
1
7

過C做平行于x軸的直線,過D做平行于y的直線,兩直線相交與M,
∴△AOB△CMD,
CD
AB
=
CM
AO
,
CM=1-(-42)=43,AO=41,所以
CD
AB
=
43
41

如圖1:∵tan∠OAB=
1
7

∴直線方程的斜率為
1
7
,即k=-
1
7
,
∴b=
43
7
,
∴直線方程為y=-
1
7
x+
43
7
,
∴A的坐標(biāo)為(43,0),B(0,
43
7
),
再將直線方程帶入雙曲線方程有
6
x
=-
1
7
x+
43
7
,解得x=1或42,
當(dāng)x=42,y=
1
7
,
∵△AOB△CPD,
CD
AB
=
CP
AO
,
CP=42-1=41,AO=43,
CD
AB
=
41
43

綜上所述:
CD
AB
的值為
43
41
41
43

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

反比例函數(shù)y=
k
x
(k≠0)的圖象經(jīng)過P,如圖所示,根據(jù)圖象可知,反比例函數(shù)的解析式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,邊長為2的等邊三角形OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,B點(diǎn)位于第一象限,將△OAB繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30°后,恰好A點(diǎn)在雙曲線y=
k
x
(x>0)上.
(1)求雙曲線y=
k
x
(x>0)的解析式;
(2)等邊三角形OAB繼續(xù)按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度后,A點(diǎn)再次落在雙曲線上?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+b(b<0)與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),與雙曲線y=
k
x
(x>0)交于D點(diǎn),過點(diǎn)D作DC⊥x軸,垂足為G,連接OD.已知△AOB≌△ACD.
(1)如果b=-2,求k的值;
(2)試探究k與b的數(shù)量關(guān)系,并寫出直線OD的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

反比例函數(shù)y=
m
x
的圖象經(jīng)過A(-2,1)、B(1,n)兩點(diǎn).
(1)求m,n的值;
(2)根據(jù)反比例圖象寫出當(dāng)-2<x<0時,y的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,過點(diǎn)P(-4,3)作x軸,y軸的垂線,分別交x軸,y軸于A、B兩點(diǎn),交雙曲線y=
k
x
(k≥2)于E、F兩點(diǎn).
(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)是______,點(diǎn)F的坐標(biāo)是______;(均用含k的式子表示)
(2)判斷EF與AB的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)記S=S△PEF-S△OEF,S是否有最小值?若有,求出其最小值;若沒有,請你說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=
2
x
的圖象上,第二象限內(nèi)的點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象上,且OA⊥OB,cosA=
3
3
,則k的值為( 。
A.-3B.-4C.-
3
D.-2
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

函數(shù)y=x+
1
x
的圖象如圖所示,對該函數(shù)的性質(zhì)的論斷:
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形;
②當(dāng)x>0時,該函數(shù)在x=1時取得最小值;
③當(dāng)x>1時,y隨x的增大而減。
④y的值不可能為-1,其中一定正確的有______.(填寫編號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

兩個反比例函數(shù)y=
3
x
,y=
6
x
在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)圖象上,過點(diǎn)P1作x軸的平行線與過點(diǎn)P2作y軸的平行線相交于點(diǎn)N,若點(diǎn)N(m,n)恰好在y=
3
x
的圖象上,則NP1與NP2的乘積是______.

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同步練習(xí)冊答案