Question

如圖，Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系中，已知B（0，

3

），點(diǎn)A在x軸正半軸上，OA=

3

OB，∠BAD=30°，將△AOB沿直線AB翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)C處，連接CB并延長交于x軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）在（2）的條件下，在y軸上有一點(diǎn)Q，當(dāng)△PBQ為以BP為腰的等腰三角形時(shí)，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知得出OA、OB的值以及∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而求得∠ADC，即可求得D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直角三角形的判定，分兩種情況討論求得；
（3）求得PB的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：解：（1）∵B（0，

3

），
∴OB=

3

，
∵OA=

3

OB，
∴OA=3，
∴AC=3，
∵∠BAD=30°，
∴∠OAC=60°，
∵∠ACD=90°，
∴∠ODB=30°，
∴

OD

OB

=

3

，即

OD

3

=

3

，
∴OD=3，
∴D（-3，0）；
（2）∵OA=3，OD=3，
∴A（3，0），AD=6，
∴AB=2

3

，
當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，∵PD=2t，
∴OP=3-2t，
∴OB²=OP•OA，
∴3-2t=

OB2

OA

=

3

3

=1，解得t=1，
當(dāng)∠APB=90°時(shí)，則P與O重合，
∴t=

3

2

；
（3）∵在y軸上有一點(diǎn)Q，
∴只有t=1時(shí)，才能構(gòu)成以BP為腰的等腰三角形，
∵OP=3-2t=1，
∴P（-1，0），
∴BP=

12+( 3 )2

=2，
∴Q（0，

3

+2）或（0.

3

-2）．

點(diǎn)評：本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了軸對稱的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，射影定理的應(yīng)用，等腰三角形的判定等．