Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB的長為2，點C在圓周上，∠CAB=30°，點D是圓上一動點，DE∥AB交CA的延長線于點E，連接CD，交AB于點F．

（1）如圖1，當∠ACD=45°時，求證：DE是⊙O的切線；

（2）如圖2，當點F是CD的中點時，求△CDE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）S△ECD=EDCD=．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，連接OD，欲證明ED是切線，只要證明∠EDO=90°即可．

（2）如圖2中，連接BC，利用勾股定理．以及直角三角形30度性質求出CD、DE即可．

試題解析：（1）如圖1中，連接OD．

∵∠C=45°，

∴∠AOD=2∠C=90°，

∵ED∥AB，

∴∠AOD+∠EDO=180°，

∴∠EDO=90°，

∴ED⊥OD，

∴ED是⊙O切線．

（2）如圖2中，連接BC，

∵CF=DF，

∴AF⊥CD，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∵AB∥ED，

∴ED⊥DC，

∴∠EDC=90°，

在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，

∴BC=1，AC=，

∴CF=AC=，CD=2CF=，

在RT△ECD中，

∵∠EDC=90°，CD=，∠E=∠CAB=30°，

∴EC=2CD=2，ED= =3，

∴S△ECD= EDCD=．