Question

【題目】在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，AD，CE相交于點F.

(1)求∠EFD的度數(shù)；

(2)判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）FE＝FD. 見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義計算求解；
（2）在AC上截取AG=AE，則EF=FG；根據(jù)ASA證明△FGC≌△FDC，得DF=FG，故判斷EF=FD．

試題解析：(1)∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝30°.

∵AD，CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，

∴∠FAC＝∠BAC＝15°，∠FCA＝∠ACB＝45°.

∴∠AFC＝180°－∠FAC－∠FCA＝120°，

∴∠EFD＝∠AFC＝120°.

(2)結(jié)論：FE＝FD.

證明：如圖，在AC上截取AG＝AE，連接FG，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠EAF＝∠GAF.在△FAE和△FAG中，

AE=AG，∠EAF=∠GAF，AF=AF，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，

∴FE＝FG，∠AFE＝∠AFG.

∵∠EFD＝120°，

∴∠DFC＝60°，∠AFG＝∠AFE＝60°，

∴∠CFG＝60°＝∠DFC.

∵EC平分∠BCA，

∴∠DCF＝∠FCG＝45°.

在△FGC和△FDC中，

∵∠GFC=∠DFC，FC=FC，∠FCG=∠FCD，

∴△FGC≌△FDC(ASA)，

∴FG＝FD，

∴FE＝FD.