Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1過A（1，0）、B，（5，0）兩點(diǎn)．

（1）求：拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求：拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及其對(duì)稱軸
（3）若拋物線對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使△COA∽△APB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+1過A（1，0）、B，（5，0）兩點(diǎn)，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣ x+1

（2）

解：在y= x2﹣ x+1中，令x=0可得y=1，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），

又y= x2﹣ x+1= （x﹣3）2﹣ ，

∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=3

（3）

解：∵A（1，0），C（0，1），

∴OA=OC=1，

∴△COA為等腰直角三角形，且∠COA=90°，

∵△COA∽△APB，

∴△APB為等腰直角三角形，∠APB=90°，

∵P在拋物線對(duì)稱軸上，

∴P到AB的距離= AB= ×（5﹣1）=2，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）或（3，﹣2）

【解析】（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求得a、b的值，可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)（1）中所求拋物線的解析式可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，及對(duì)稱軸；（3）由A、C點(diǎn)的坐標(biāo)可判定△COA為等腰直角三角形，若△COA∽△APB，可知△APB為等腰直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)可求得P到x軸的距離，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形即可以解答此題．