如圖,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一點,CD=9,BC=15,BD=12,
(1)證明:△BCD是直角三角形;
(2)求:△ABC的面積.
考點:勾股定理的逆定理,勾股定理
專題:
分析:(1)利用勾股定理的逆定理即可直接證明△BCD是直角三角形;
(2)設(shè)AD=x,則AC=x+9,在直角△ABD中,利用勾股定理即可列出方程,解方程,即可求解.
解答:(1)證明:∵CD=9,BD=12,
∴CD2+BD2=81+144=225.
∵BC=15,
∴BC2=225.
∴CD2+BD2=BC2
∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理逆定理).
(2)解:設(shè)AD=x,則AC=x+9.
∵AB=AC,
∴AB=x+9.
∵∠BDC=90°,
∴∠ADB=90°°.
∴AB2=AD2+BD2(勾股定理).
即(x+9)2=x2+122
解得:x=
7
2

∴AC=
7
2
+9=
25
2

∴S△ABC=
1
2
AC•BD=75.
點評:本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形,已知三角形三邊的長,只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.
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