Question

如圖，△ABC為等邊三角形，點P是邊AC的延長線上一點，連接BP，作∠BPQ等于60°，直線PQ與直線BC交于點N．
（1）求證：AP•PC=AB•CN；
（2）若BC=2，CN=

3

2

，求∠N的正切值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）首先利用等邊三角形的性質(zhì)和已知條件證明△PAB∽△NCP，利用其性質(zhì)可得：

PA

NC

=

AB

CP

，即AP•CP=AB•NC；
（2）過點P作PD⊥CN于點D，利用（1）中的結(jié)論可求出PC的長，再根據(jù)勾股定理可求出PD，進而得到DN，利用正切的定義即可求出∠N的正切值．

解答：（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，
∴∠PCN=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CBP+∠CPB=60°，∠BPQ=∠PBN+∠N=60°，
∴∠CPB=∠N，
∴△PAB∽△NCP，
∴

PA

NC

=

AB

CP

，
∴AP•CP=AB•NC；
（2）解：過點P作PD⊥CN于點D，
∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC=2
由（1）知，AP•CP=AB•NC，
∴（PC+2）×PC=2×

3

2

，
整理得 PC²+2PC-3=0，
∴PC=1或PC=-3（舍），
在Rt△PCD中，∠PDC=90°，∠PCD=60°
∴∠CPD=30°，
∴CD=

1

2

CP=

1

2

，
由勾股定理得PD=

PC2-CD2

=

3

2

，
∴DN=CN-CD=

3

2

-

1

2

=1，
在Rt△NDP中，∠PDN=90°，tan∠N=

PD

ND

=

1 2 3

1

=

3

2

．

點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用和正切的定義，題目的綜合性很強，難度中等．