Question

已知實數a，b滿足ab=1，M=

a

a+1

+

b

b+1

，N=

1

a+1

+

1

b+1

．
（1）試著取兩組a，b的值，判斷M與N的大小，并作出猜想．
（2）請用所學的數學知識驗證你的猜想．

Answer 1

考點：分式的加減法

專題：計算題

分析：（1）取a與b兩對值，代入M與N中計算，比較大小即可；
（2）利用作差法證明即可．

解答：解：（1）當a=2，b=

1

2

時，M=

2

2+1

+

1 2

1 2 +1

=

2

3

+

1

3

=1，N=

1

3

+

2

3

=1；
當a=3，b=

1

3

時，M=

3

4

+

1 3

1 3 +1

=1，N=

1

4

+

1

1 3 +1

=1，
猜想M=N；
（2）M-N=

a

a+1

+

b

b+1

-

1

a+1

-

1

b+1

=

a-1

a+1

+

b-1

b+1

=

ab+a-b-1+ab-a+b-1

ab+a+b+1

=

2ab-2

ab+a+b+1

=

2-2

2+a+b

=0，
則M=N．

點評：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．