Question

【題目】已知拋物線與 y 軸交于點 C（0，4），與 x 軸交于點 A、B，點 A 的坐標為（4，0）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點 Q 是線段 AB 上的動點，過點 Q 作 QE∥AC，交 BC 于點 E，連接 CQ，當△CQE 的面積最大時，求點 Q的坐標；

（3）當點 Q 從點 B 出發(fā)沿著 BA 方向以每秒 2 個單位長向點 A 運動，同時點 P 從點 A 出發(fā)沿著 AC 方向以每秒 個單位長度向點 C 運動，其中一個點到達終點，另一個點也停止運動，設 P、Q 運動時間為 t 秒，當 t 為何值？△APQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）秒或秒或2秒．

【解析】

（1）根據拋物線與軸交于點，與軸交于點，用待定系數(shù)法求出，的值，即可求出該拋物線的解析式；

（2）設，因為，所以，再利用相似三角形的性質得出，進而可得，然后利用二次函數(shù)的性質求出點的坐標；

（3）分別用t的式子表示出的邊長，再在中分三種情況①，②，③構建方程求出t值即可．

解：（1）拋物線與軸交于點，與軸交于點，

，

解得：，

拋物線的解析式為：；

（2），

當時，，

解得或，

點的坐標為，

點的坐標為，0，，，

．

設，

，

，

，

，

，

當時，面積最大，

點坐標為．

（3）依題意得：BQ=2t，AP=，

∴AQ=6-2t，

∵OC=OA=4，

∴為等腰直角三角形，

∴∠CAO=45°，

在中分三種情況；

①當時，如圖1，

則，解得：，

②當AP=PQ時，如圖2，

∵∠CAO=45°，∴∠APQ=90°，

∴，即，解得

③當AQ=PQ時，如圖3，

∵∠CAO=45°，

∴∠AQP=90°，

∴，即，解得

綜上所述：使得是等腰三角形，則t的值為：秒或秒或2秒.