Question

已知函數(shù)y=mx²-3x+2（m是常數(shù)）．
（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個定點；
（2）若一次函數(shù)y=x+1的圖象與該函數(shù)的圖象恰好只有一個交點，求m的值 及這個交點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論：
當(dāng)m=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，由于求證點在y軸上，令x=0，可求出圖象與y軸的交點；
當(dāng)m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，由于求證點在y軸上，令x=0，可求出圖象與y軸的交點．然后驗證該兩點為同一點即可．
（2）當(dāng)m=0時，兩函數(shù)均為一次函數(shù)，必有一交點； 當(dāng)m≠0時函數(shù)為二次函數(shù)，將兩函數(shù)組成方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根的判別式求m的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，
令x=0，
則y=2，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個定點（0，2）；
當(dāng)m≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，
當(dāng)x=0時，y=2，該函數(shù)圖象過y軸上一個定點（0，2）．
可見，不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過y軸上的一個定點．
 
（2）當(dāng)m=0時，兩函數(shù)均為一次函數(shù)且比例系數(shù)不同，必有一交點，列方程組得

y=-3x+2 y=x+1

；
解得

x= 1 4 y= 5 4

，即交點坐標(biāo)為（

1

4

，

5

4

）；
當(dāng)m≠0時，把y=x+1代入y=mx²-3x+2得，x+1=mx²-3x+2，整理得mx²-4x+1=0，
∵兩函數(shù)圖象只有一個交點；
∴△=0，即△=（-4）²-4m=0．
解得m=4，
把m=4代入方程mx²-4x+1=0得，4x²-4x+1=0，解得x=

1

2

，
把x=

1

2

代入一次函數(shù)y=x+1得，y=

1

2

+1=

3

2

，即兩函數(shù)交點坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

）．
故當(dāng)m=0時，兩函數(shù)交點坐標(biāo)為（

1

4

，

5

4

）；
當(dāng)m=4時，兩函數(shù)交點坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點及根的判別式，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解．