Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3），直角頂點(diǎn)B在第四象限．

（1）如圖，若該拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）平移（1）中的拋物線，使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng)，且與AC交于另一點(diǎn)Q，取BC的中點(diǎn)N，連接NP，BQ，試探究

PQ

NP+BQ

是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）易得PQ=2

2

為定值，因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)，

PQ

NP+BQ

有最大值．如答圖2所示，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，由分析可知，當(dāng)B′、Q、F（AB中點(diǎn)）三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為線段B′F的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1），C的坐標(biāo)為（4，3）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，-1）．
∵拋物線過(guò)A（0，-1），B（4，-1）兩點(diǎn)，
∴

c=-1 - 1 2 ×16+4b+c=-1

，
解得：b=2，c=-1，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=-

1

2

x²+2x-1．

（2）

PQ

NP+BQ

存在最大值．理由如下：
易知PQ=2

2

為定值，則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí)，

PQ

NP+BQ

有最大值．

如答圖2，取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（0，3），BQ=B′Q．
連接QF，F(xiàn)N，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四邊形PQFN為平行四邊形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=

22+42

=2

5

．
∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí)，NP+BQ最小，最小值為2

5

．
∴

PQ

NP+BQ

的最大值為

2 2

2 5

=

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)中考?jí)狠S題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、幾何變換（平移，對(duì)稱）、等腰直角三角形、平行四邊形、軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，考查了存在型問(wèn)題和分類討論的數(shù)學(xué)思想，試題難度較大．