Question

小芳在計(jì)算a+

bc-a2

a2+b2+c2

（a，b，c互不相等）時(shí)，發(fā)現(xiàn)若交換a與b時(shí)，這個(gè)式子的值不變；若把a(bǔ)和c交換時(shí)，這個(gè)式子的值也不變，如果a+b+c=1，請(qǐng)你求出這個(gè)不變的值．

Answer 1

考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)a與b交換后，式子值不變，列出關(guān)系式，通分去分母整理后把a(bǔ)+b+c=1代入求出a²+b²+c²=1，代入已知式子中化簡(jiǎn)得到關(guān)系式，若把a(bǔ)和c交換時(shí)，這個(gè)式子的值也不變，則有a+bc-a²=b+ac-b²=c+ba-c²，把a(bǔ)+bc-a²變形后計(jì)算即可求出不變的值．

解答：解：根據(jù)題意得：a+

bc-a2

a2+b2+c2

=b+

ac-b2

a2+b2+c2

，
通分去分母，得a（a²+b²+c²）+（bc-a²）=b（b²+a²+c²）+（ac-b²），
整理，得（a-b）（a²+b²+c²-a-b-c）=0，
又∵a+b+c=1，
∴上式變?yōu)椋╝-b）（a²+b²+c²-1）=0，
∵a，b，c互不相等，∴a-b≠0，
∴a²+b²+c²-1=0，即a²+b²+c²=1，
∴a+

bc-a2

a2+b2+c2

=a+bc-a²，
又∵交換a與b時(shí)，這個(gè)式子的值不變；
若把a(bǔ)和c交換時(shí)，這個(gè)式子的值也不變，
∴a+bc-a²=b+ac-b²=c+ba-c²，
∴a+bc-a²=

1

3

（a+bc-a²+b+ac-b²+c+ba-c²）
=

1

6

（2a+2bc-2a²+2b+2ac-2b²+2c+2ba-2c²）
=

1

6

（2a+2b+2c-3a²-3b²-3c²+a²+b²+c²+2bc+2ac+2ba）
=

1

6

[2（a+b+c）-3（a²+b²+c²）+（a+b+c）²]
=

1

6

×（2-3+1）
=0，
則這個(gè)不變的值是0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．