Question

?已知關于x的二次函數(shù)y=x²-（2m-1）x+m²+3m+4．
（1）探究m滿足什么條件時，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A（x₁，0），B（x₂，0），且x₁²+x₂²=5，求二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點A在點B的左邊，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為C，點D在x軸上，在二次函數(shù)的圖象上找一點P，使以點A、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用根的判別式列出不等式，然后求解即可；
（2）利用根與系數(shù)的關系用m表示出x₁²+x₂²，然后列出方程，再求解即可；
（3）判斷出只有PC∥AD一種情況，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出點P的坐標即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，
∴△=（2m-1）²-4（m²+3m+4）=-16m-15＞0，
解得m＜-

15

16

；

（2）由根與系數(shù)的關系得，x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+3m+4，
∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴（2m-1）²-2（m²+3m+4）=5，
整理得，m²-5m-6=0，
解得m₁=-1，m₂=6（舍去），
所以，二次函數(shù)的解析式為y=x²+3x+2；

（3）只有PC∥AD時，以點A、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，
令x=0，則y=2，
所以，點C的坐標為（0，2），
∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x=-

3

2

，
∴點P的坐標為（-3，2）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，根與系數(shù)的關系，平行四邊形對邊平行的性質(zhì)，難點在于（2）利用根與系數(shù)的關系列出關于m的方程，（3）判斷出只有PC∥AD時一種情況．