Question

如圖，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB=

3

，PC是∠APB的平分線，∠BAC=30°．問：當(dāng)∠PAC等于多少度時(shí)，四邊形PACB有最大面積？最大面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)圓周角定理得∠CPB=∠BAC=30°，而PC是∠APB的平分線，所以∠APB=2∠CPB=60°，AC弧=BC弧；當(dāng)P點(diǎn)為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積最大，即四邊形PACB有最大面積，此時(shí)PC為⊙O的直徑，則∠PAC=90°，PA=AB=

3

，可計(jì)算∴AC=

3

3

PA=1，根據(jù)三角形面積公式得S_△PAC=

3

2

，此時(shí)四邊形PACB最大面積=2S_△PAC=

3

．

解答：解：∵∠CPB=∠BAC=30°，
而PC是∠APB的平分線，
∴∠APB=2∠CPB=60°，AC弧=BC弧
∴C點(diǎn)為AB弧的中點(diǎn)，
當(dāng)P點(diǎn)為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，△PAB的面積最大，則四邊形PACB有最大面積，
此時(shí)PC為⊙O的直徑，
∴∠PAC=90°，PA=AB=

3

，
而∠APC=30°，
∴AC=

3

3

PA=1，
∴S_△PAC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴四邊形PACB最大面積=2S_△PAC=

3

，
即當(dāng)∠PAC等于90度時(shí)，四邊形PACB有最大面積，最大面積是

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．