【題目】問(wèn)題探究:
(1)如圖①,邊長(zhǎng)為4的等邊△OAB位于平面直角坐標(biāo)系中,將△OAB折疊,使點(diǎn)B落在OA的中點(diǎn)處,則折痕長(zhǎng)為;
(2)如圖②,矩形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中,其中OA=8,AB=6,將矩形沿線段MN折疊,點(diǎn)B落在x軸上,其中AN= AB,求折痕MN的長(zhǎng);
(3)如圖③,四邊形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中,其中OA=AB=6,CB=4,BC∥OA,AB⊥OA于點(diǎn)A,點(diǎn)Q(4,3)為四邊形內(nèi)部一點(diǎn),將四邊形折疊,使點(diǎn)B落在x軸上,問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)Q的折痕,若存在,求出折痕長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)2
(2)
解:如圖2中,B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,折痕為MN,MN交BB′于H
∵AN= AB=2,
∴NB=NB′=4,
在Rt△ANB′中,AB′= =2 ,
∴OB′=8﹣2 ,
∴點(diǎn)B′(8﹣2 ,0),
∵B(8,6),
∴BB′中點(diǎn)H(8﹣ ,3),∵點(diǎn)N坐標(biāo)(8,2),
設(shè)直線NH解析式為y=kx+b,則有 解得 ,
∴直線NH解析式為y=﹣ x+2+ ,
∴點(diǎn)M坐標(biāo)(0,2+ ),
∴MN= =
(3)
解:存在.
理由:如圖3中,延長(zhǎng)BQ交OA于B″,連接AQ,過(guò)點(diǎn)Q作MN∥OA,交OC于M,交AB于N.
∵Q(4,3),
∴N(6,3),
∴BN=AN.QB=QB″,
作BB″的垂直平分線PF,交OC于P,交AB于F,此時(shí)B、B″關(guān)于直線PF對(duì)稱(chēng),滿(mǎn)足條件,
在Rt△ABB″中,∵∠BAB″=90°,BQ=QB″,
∴AQ=QB,
∴此時(shí)B、A(B′)關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng),滿(mǎn)足條件.
∵C(2,6),
∴直線OC解析式為y=3x,
∵NM∥OA,BN=NA,
∴CM=OM,
∴點(diǎn)M(1,3),
∴MN=5(過(guò)M做MM'⊥BA于M',利用△BB'A中AB'=2√3,AB=6,所以∠B'BA=30°,進(jìn)而推導(dǎo)∠M'MN=30°,求得MN結(jié)果更快。
∵B(6,6),B″(2,0),
∴可得直線BB″的解析式為y= x﹣3,
∴過(guò)點(diǎn)Q垂直BB″的直線PF的解析式為y=﹣ x+ ,
由 解得 ,
∴點(diǎn)P( , ),F(xiàn)(6, ),
∴PF= = ,
綜上所述,折痕的長(zhǎng)為5或
【解析】解:(1)如圖1中,B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,折痕為MN,MN交BB′于H.
∵△ABC是等邊三角形,OB′=B′A,
∴BB′⊥OA,又∵BB′⊥MN,
∴MN∥OA,∵BH=HB′,
∴BM=OM,BN=NA,
∴MN是△ABC的中位線,
∴MN= OA=2.
故答案為2.
(1)如圖1中,B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,折痕為MN,MN交BB′于H.只要證明折痕是△ABC的中位線即可.(2)如圖2中,B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′,折痕為MN,MN交BB′于H,求出直線MN的解析式即可解決問(wèn)題.(3)存在.如圖3中,延長(zhǎng)BQ交OA于B″,連接AQ,過(guò)點(diǎn)Q作MN∥OA,交OC于M,交AB于N.可以證明線段MN計(jì)算折痕;作BB″的垂直平分線PF,交OC于P,交AB于F,此時(shí)B、B″關(guān)于直線PF對(duì)稱(chēng),線段PF也是折痕.分別求出MN、PF即可解決問(wèn)題.
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【題目】為了豐富少年兒童的業(yè)余生活,某社區(qū)要在如圖所示AB所在的直線建一圖書(shū)室,本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點(diǎn)C和點(diǎn)D處,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25km,CA=15km,DB=10km,試問(wèn):圖書(shū)室E應(yīng)該建在距點(diǎn)A多少km處,才能使它到兩所學(xué)校的距離相等?
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【題目】如圖,銳角△ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),△ADC≌△ADC',△AEB≌△AEB',且C'D∥EB'∥BC,記BE,CD交于點(diǎn)F,若∠BAC=x°,則∠BFC的大小是_____°.(用含x的式子表示)
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【題目】如圖:在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,F(xiàn)在AC上,BD=DF;
證明:(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
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【題目】小明參加某網(wǎng)店的“翻牌抽獎(jiǎng)”活動(dòng),如圖,共有4張牌,分別對(duì)應(yīng)5元,10元,15元,20元的現(xiàn)金優(yōu)惠券,小明只能看到牌的背面.
(1)如果隨機(jī)翻一張牌,那么抽中20元現(xiàn)金優(yōu)惠券的概率是 .
(2)如果隨機(jī)翻兩張牌,且第一次翻的牌不參與下次翻牌,則所獲現(xiàn)金優(yōu)惠券的總值不低于30元的概率是多少?請(qǐng)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表格說(shuō)明問(wèn)題.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AB∥CD∥x軸,BC∥DE∥y軸,且AB=CD=4 cm,OA=5 cm,DE=2 cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1 cm的速度,沿ABC路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā),以每秒2 cm的速度,沿OED路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).若P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.
(1)直接寫(xiě)出B,C,D三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)P,Q兩點(diǎn)出發(fā)3 s時(shí),求三角形PQC的面積;
(3)設(shè)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s,用含t的式子表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中三角形OPQ的面積.
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【題目】計(jì)算:
(1)(﹣2x3y)2(﹣2xy)+(﹣2x3y)3÷2x2
(2)20202﹣2019×2021
(3)(﹣2a+b+1)(2a+b﹣1)
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【題目】根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列不等式:
(1)a與1的和是正數(shù) ;
(2)a的和b的的差是負(fù)數(shù) ;
(3)a與b的兩數(shù)和的平方不大于9 ;
(4)a的倍與b的和的平方是非負(fù)數(shù) .
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