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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,AB=AC,CO的延長線交AB于點D

(1)求證:AO平分∠BAC;
(2)若BC=6,sin∠BAC= ,求AC和CD的長.

【答案】
(1)證明:延長AO交BC于H,連接BO,如圖1所示:

∵AB=AC,OB=OC,

∴A、O在線段BC的垂直平分線上,

∴AO⊥BC,

又∵AB=AC,

∴AO平分∠BAC;


(2)解:延長CD交⊙O于E,連接BE,如圖2所示:

則CE是⊙O的直徑,

∴∠EBC=90°,BC⊥BE,

∵∠E=∠BAC,

∴sinE=sin∠BAC,

= ,

∴CE= BC=10,

∴BE= =8,OA=OE= CE=5,

∵AH⊥BC,

∴BE∥OA,

,即 = ,

解得:OD= ,

∴CD=5+ = ,

∵BE∥OA,即BE∥OH,OC=OE,

∴OH是△CEB的中位線,

∴OH= BE=4,CH= BC=3,

∴AH=5+4=9,

在Rt△ACH中,AC= = =3


【解析】(1)圓中常用輔助線是連半徑,利用垂直平分線的判定定理可得A、O均在線段BC的垂直平分線上,又由等腰三角形的性質“頂角平分線與高重合”得證;(2)出現三角函數時通常把它放在直角三角形中,因此需延長CD,構造出直徑,進而構造出90度的圓周角即直角三角形,可求出直徑CE、BE,由BE∥OA可求OD、CD,進而求出AH,利用勾股定理求出AC.
【考點精析】關于本題考查的三角形的外接圓與外心和解直角三角形,需要了解過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心;解直角三角形的依據:①邊的關系a2+b2=c2;②角的關系:A+B=90°;③邊角關系:三角函數的定義.(注意:盡量避免使用中間數據和除法)才能得出正確答案.

練習冊系列答案
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