Question

如圖，長(zhǎng)方形OABC中，O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，5），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)．

（1）如圖1，寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)（

 

）；
（2）如圖2，若過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)CD交AB于點(diǎn)D，且把長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)分為3：1兩部分，則點(diǎn)D的坐標(biāo)（

 

）；
（3）如圖3，將（2）中的線(xiàn)段CD向下平移，得到C′D′，使C′D′平分長(zhǎng)方形OABC的面積，則此時(shí)點(diǎn)D′的坐標(biāo)是（

 

）．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,坐標(biāo)與圖形變化-平移

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=OA，AB=OC，然后寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；
（2）先求出長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)，然后求出被分成兩個(gè)部分的長(zhǎng)度，判斷出點(diǎn)D一定在AB上，再求出BD的長(zhǎng)度即可得解；
（3）先用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)CD的解析式，根據(jù)線(xiàn)段CD向下平移，得到C′D′，設(shè)處直線(xiàn)C′D′的解析式，再求出矩形OABC的中心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)C′D′的解析式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵A（3，0），C（0，5），
∴OA=3，OC=5，
∵四邊形OABC是長(zhǎng)方形，
∴BC=OA=3，AB=OC=5，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，5）．
故答案為（3，5）；

（2）長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)為：2（3+5）=16，
∵CD把長(zhǎng)方形OABC的周長(zhǎng)分為3：1兩部分，
∴被分成的兩部分的長(zhǎng)分別為16×

3

1+3

=12，16×

1

1+3

=4，
①C→B→D長(zhǎng)為4，點(diǎn)D一定在AB上，
∴BD=4-3=1，AD=5-BD=5-1=4，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4），
②C→B→A→O→D長(zhǎng)為12時(shí)，點(diǎn)D在OC上，OD=1，不符合題意，
所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，4）．
故答案為（3，4）；

（3）設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵C（0，5），D（3，4），
∴

b=5 3k+b=4

，解得

k=- 1 3 b=5

，
∴直線(xiàn)CD的解析式為y=-

1

3

x+5，
∵直線(xiàn)C′D′由直線(xiàn)CD平移而成，
∴設(shè)直線(xiàn)C′D′的解析式為y=-

1

3

x+5-a，
∵A（3，0），C（0，5），
∴矩形OABC的中心坐標(biāo)為（

3

2

，

5

2

），
∵C′D′平分長(zhǎng)方形OABC的面積，
∴直線(xiàn)C′D′過(guò)矩形OABC的中心，
∴

5

2

=-

1

3

×

3

2

+5-a，解得a=2，
∴D′（3，2）．
故答案為：（3，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．