Question

在一個邊長為6cm的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC，CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如圖1，當點M與點C重合，求證：DF=MN；
（2）如圖2，假設點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發(fā)，以

2

cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；
①當點F是邊AB中點時，求CM的長度．
②在點E，M的運動過程中，除正方形的邊長外，圖中是否還存在始終相等的線段？若存在，請找出來，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由正方形及垂直的性質就可以得出∠ADF=∠DCN，就可以得出△ADF≌△DCN就可以得出結論；
（2）①根據(jù)正方形的性質可以得出△AFE∽△CDE，由相似三角形的性質就可以得出t的值就可以求出CM的值；
②關鍵正方形的性質證明△AFE∽△CDE就可以表示出AF，再由△MND∽△DFA就可以得出ND=t，進而求出結論．

解答：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC=AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∴AC=6

2

．
∵MN⊥DF，
∴∠DHN=∠DHC=90°
∴∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF與△DNC中，

∠DAF=∠CDN AD=CD ∠ADF=∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．

（2）解：①∵點F是邊AB中點時，
∴AF=

1

2

AB=3，
∴

AF

CD

=

1

2

．
∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
∴

AE

CE

=

AF

CD

=

1

2

．
∴AE=

1

2

EC，
∴AE=

1

3

AC=

1

3

×6

2

=2

2

，
∴

2

t=2

2

，
∴t=2，
∴CM=t=2．
②CM=DN．
理由：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD=DC=AB=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∴△AFE∽△CDE，
∴

AF

CD

=

AE

EC

．
∴

AF

6

=

2 t

6 2 - 2 t

，
∴AF=

6t

6-t

．
∵∠ADF=∠DMN，∠DAF=∠NDM，
∴△MND∽△DFA，
∴

ND

AF

=

DM

AD

，
∴

ND

6t 6-t

=

6-t

6

，
解得：ND=t．
∵CM=t
∴ND=CM．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質的運用．解答時運用相似三角形的性質求解是關鍵．