【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于點(diǎn)D,經(jīng)過B、D兩點(diǎn)的⊙O交AB 于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,EB為⊙O的直徑.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)當(dāng)BC=2,cos∠ABC= 時(shí),求⊙O的半徑.

【答案】
(1)證明:如圖,連結(jié)OD.

∴OD=OB.

∴∠1=∠2.

∵BD平分∠ABC,

∴∠1=∠3.

∴∠2=∠3.

∴OD∥BC.

∴∠ADO=∠C=90°.

∴OD⊥AC.

∵OD是⊙O的半徑,

∴AC是⊙O的切線


(2)解:在Rt△ACB中,∠C=90,BC=2,cos∠ABC= ,

設(shè)⊙O的半徑為r,則AO=6﹣r.

∵OD∥BC,

∴△AOD∽△ABC.

解得

∴⊙O的半徑為


【解析】(1)根據(jù)切線的判定定理,垂直經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線,連接OD,只要得出OD⊥AC即可得出;(2)通過解直角三角形求得AB,然后證明△AOD∽△ABC,利用相似的性質(zhì)得對應(yīng)邊的比值相等,即可求得⊙O的半徑.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的判定定理的相關(guān)知識,掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

練習(xí)冊系列答案
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(1)點(diǎn)A1、B1分別為點(diǎn)A、B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn),請畫出四邊形AA1B1B,并寫出A1、B1的坐標(biāo);

(2)在(1)的條件下,畫一條過四邊形AA1B1B的一個(gè)頂點(diǎn)的線段,將四邊形AA1B1B分成兩個(gè)圖形,并且使分得的圖形中的一個(gè)是軸對稱圖形.

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購買服裝的套數(shù)

1﹣50

51﹣100

100套以上

每套服裝的價(jià)格

 130

 110

  90

經(jīng)估算,如果兩個(gè)班都以班為單位購買服裝,那么一共應(yīng)付12400元,問:

(1)兩班各有多少學(xué)生?

(2)如果兩班聯(lián)合起來,作為一個(gè)團(tuán)體購買服裝,可省多少錢?

(3)如果(2)班不購買了,只有(1)班單獨(dú)購買,作為組織者的你將如何購買才最省錢?

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【題目】已知:如圖,E,F□ABCD 的對角線BD上的兩點(diǎn),且BE=DF

求證:AE∥CF

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【題目】某校為了做好大課間活動,計(jì)劃用400元購買10件體育用品,備選體育用品及單價(jià)如下表(單位:元)

備選體育用品

籃球

排球

羽毛球拍

單價(jià)(元)

50

40

25

(1)400元全部用來購買籃球和羽毛球拍共10件,問籃球和羽毛球拍各購買多少件?

(2)400元全部用來購買籃球、排球和羽毛球拍三種共10件,能實(shí)現(xiàn)嗎?(若能實(shí)現(xiàn)直接寫出一種答案即可,若不能請說明理由.)

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A. 7 B. 8 C. 11 D. 10

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