Question

如圖1，拋物線C₁：y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為A，與y軸的負(fù)半軸交于B點(diǎn)．
（1）求拋物線C₁的解析式及B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將拋物線C₁向下平移與直線AB相交于C、D兩點(diǎn)，若BC+AD=AB，求平移后的拋物線C₂的解析式；
（3）如圖3在（2）中，設(shè)拋物線C₂與y軸交于G點(diǎn)，頂點(diǎn)為E，EF⊥x軸于F點(diǎn)，M（m，0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段EF上一點(diǎn)，若∠MNG=90°，請(qǐng)你分析實(shí)數(shù)m的變化范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得：-=1，=-，其中a=1，
解得：b=-2，c=-，
∴拋物線C₁的解析式：y=x²-2x-；
令x=0，y=-，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-）；

（2）過A、B兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于H點(diǎn)，過C、D兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于Q點(diǎn)，
∵BC+AD=AB，∴CD=2AB，
∵AH=BH=1，∴CQ=DQ=2．
設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，
由（1）中A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得出：
，
解得：，
則直線AB的解析式為：y=-x-，
設(shè)C（m，），則D（m+2，），
設(shè)拋物線C₂的解析式為y=x²-2x+t，
∵C、D兩點(diǎn)在拋物線C₂上，
則有：
解得：，
∴拋物線C₂的解析式為y=x²-2x-3；

（3）由（2）有OF=1，F(xiàn)E=4，OG=3，∴∠GEF=45°，
當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的右邊時(shí)，
作EM⊥GE交x軸于M點(diǎn)，
則∠FEM=45°，
∴FM=EF=4，
∴OM=5，
∴m≤5；
當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的左邊時(shí)，作GH⊥EF于H點(diǎn)，
∵∠MNG=90°，
則△MNF∽△NGH，
∴，
設(shè)FN=n，則NH=3-n，
∴，得：n²-3n-m+1=0，
∴△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
解得：．
∴m的變化范圍是．
分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），然后代入即可求出b和c的值，令x=0，求出此時(shí)的y，即是點(diǎn)B的縱坐標(biāo)；
（2）過A、B兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于H點(diǎn)，過C、D兩點(diǎn)分別作x軸、y軸的垂線，交于Q點(diǎn)，由（1）有直線AB的解析式為：y=-x-，設(shè)C（m，-m-），則D（m+2，-m-），代入拋物線C₂的解析式為y=x²-2x+t，求出即可；
（3）當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的右邊時(shí)，作EM⊥GE交x軸于M點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在F點(diǎn)的左邊時(shí)，作GH⊥EF于H點(diǎn)，則△MNF∽△NGH，利用相似三角形的性質(zhì)以及一元二次方程根的判別式得出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知結(jié)合圖象進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．