Question

如圖所示，已知拋物線y=x²-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點c．

    (1)求A、B、C三點的坐標．

    (2)過點A作AP∥CB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積．

    (3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MG⊥x軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似．若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理

Answer 1

解：(1)令y=0，得x₂-1=0  解得x=±1

    令x=0，得y=-1

    ∴A(-1，0)  B(1，0)  C(0，-1)

    (2)∵OA=OB=OC=1  ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°

    ∵AP∥CB，∴∠PAB=45°

    過點P作PE⊥x軸于E，則△APE為等腰直角三角形

    令OE=a，則PE=a+1  ∴P(a，a+1)

    ∵點P在拋物線y=x²-1上  ∴a+1=a##2-1

    解得a₁=2，a₂=-1(不合題意，舍去)

    ∴PE=3

    ∴四邊形ACBP的面積S=AB·OC+AB·PE=×2×1+×2×3=4

(3)假設(shè)存在

    ∵∠PAB=∠BAC=45°  ∴PA⊥AC

    ∵MG⊥x軸于點G，∴∠MGA=∠PAC=90°

    在Rt△AOC中，OA=OC=1  ∴AC=

    在Rt△PAE中，AE=PE=3  ∴AP=

    設(shè)M點的橫坐標為m，則M(m，m²-1)

    ①點M在y軸左側(cè)時，則m＜-1

    (i)當△AMG∽△PCA時，有

    ∵AG=-m-1，MG=m²-1

    即   解得m₁=-1(舍去)  m₂=(舍去)

    (ii)當△MAG∽△PCA時有

    即   解得：m=-1(舍去)  m₂=-2

∴M(-2，3)

    ②點M在y軸右側(cè)時，則m＞1

    (i)當△AMG∽△PCA時有

    ∵AG=m+1，MG=m₂-1

    ∴

    解得m₁=-1(舍去)  m₂=  ∴

    (ii)當△MAG∽△PCA時有

    即

    解得：m₁=-1(舍去)  m₂=4  ∴M(4，15)

    ∴存在點M，使以A、M、G三點為頂點的三角形與△PCA相似

    M點的坐標為(-2，3)，(，)， (4，15)