【題目】如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,3),點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)P在BC邊上,直線l1:y=2x+3,直線l2:y=2x﹣3.
(1)分別求直線l1與x軸,直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)M在第一象限,且是直線l2上的點(diǎn),若△APM是等腰直角三角形,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)我們把直線l1和直線l2上的點(diǎn)所組成的圖形為圖形F.已知矩形ANPQ的頂點(diǎn)N在圖形F上,Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn),且N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,請(qǐng)直接寫出x的取值范圍(不用說明理由).
【答案】
(1)
解:直線l1:當(dāng)y=0時(shí),2x+3=0,x=﹣
則直線l1與x軸坐標(biāo)為(﹣ ,0)
直線l2:當(dāng)y=3時(shí),2x﹣3=3,x=3
則直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3);
(2)
解:①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限,連結(jié)AC,
如圖1,
∠APB>∠ACB>45°,
∴△APM不可能是等腰直角三角形,
∴點(diǎn)M不存在;
②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限,如圖2,
過點(diǎn)M作MN⊥CB,交CB的延長線于點(diǎn)N,
則Rt△ABP≌Rt△PNM,
∴AB=PN=4,MN=BP,
設(shè)M(x,2x﹣3),則MN=x﹣4,
∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4),
x= ,
∴M( , );
③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限,如圖3,
設(shè)M1(x,2x﹣3),
過點(diǎn)M1作M1G1⊥OA,交BC于點(diǎn)H1,
則Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1,
∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3),
∴x+3﹣(2x﹣3)=4,
x=2
∴M1(2,1);
設(shè)M2(x,2x﹣3),
同理可得x+2x﹣3﹣3=4,
∴x= ,
∴M2( , );
綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為( , ),(2,1),( , );
(3)
解:x的取值范圍為﹣ ≤x<0或0<x≤ 或 ≤x≤ 或 ≤x≤2.
【解析】考查了四邊形綜合題,涉及的知識(shí)點(diǎn)有:坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等腰直角三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),分類思想的應(yīng)用,方程思想的應(yīng)用,綜合性較強(qiáng),有一定的難度.(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求直線l1與x軸,直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo);(2)分三種情況:①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限;若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限;③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M在第一象限;進(jìn)行討論可求點(diǎn)M的坐標(biāo);(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)可求N點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱:等邊對(duì)等角);矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=
(1)作⊙O,使它過點(diǎn)A、B、C(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)所作的圓中,圓心角∠BOC=°,圓的半徑為 , 劣弧 的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,對(duì)角線AC=2 ,E為BC邊上一點(diǎn),BC=3BE,將矩形ABCD沿AE所在的直線折疊,B點(diǎn)恰好落在對(duì)角線AC上的B′處,則AB= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB,CD相交于點(diǎn)O,OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC=70°,求∠BOD的度數(shù);
(2)若∠EOC:∠EOD=2:3,求∠BOD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于線段AB長度一半的長為半徑作弧,相交于點(diǎn)E,F(xiàn),過點(diǎn)E,F(xiàn)作直線EF,交AB于點(diǎn)D,連結(jié)CD,則CD的長是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 當(dāng)AB=BC時(shí),四邊形ABCD是菱形
B. 當(dāng)AC⊥BD時(shí),四邊形ABCD是菱形
C. 當(dāng)∠ABC=90°時(shí),四邊形ABCD是矩形
D. 當(dāng)AC=BD時(shí),四邊形ABCD是正方形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)B(0,3),把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得△A′BO′,點(diǎn)A,O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′,O′,記旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)如圖①,若α=90°,求AA′的長;
(2)如圖②,若α=120°,求點(diǎn)O′的坐標(biāo);
(3)在(Ⅱ)的條件下,邊OA上 的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′,當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí),求點(diǎn)P′的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)y1=﹣ x﹣1與反比例函數(shù)y2= 的圖象交于點(diǎn)A(﹣4,m).
(1)觀察圖象,在y軸的左側(cè),當(dāng)y1>y2時(shí),請(qǐng)直接寫出x的取值范圍;
(2)求出反比例函數(shù)的解析式.
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