Question

如圖，△ABC中，AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標(biāo)出⊙O與AB的交點(diǎn)D，與BC的交點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圖中，
①求證：

DE

=

CE

；  
②求點(diǎn)D到BC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖

專題：

分析：（1）利用尺規(guī)作圖作出AC的中點(diǎn)，就是圓心，從而作出圓；
（2）①連接AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠DAE=∠CAE，即可證得；
②連接AE，CD，作DM⊥BC交BC于點(diǎn)M，在直角△BCD中首先利用三角函數(shù)求得BD的長(zhǎng)，然后在直角△BDH中，利用三角函數(shù)求得DM．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）①如圖，連接AE，
∵AC為直徑，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴

DE

=

CE

； 
②連接AE，CD，作DM⊥BC交BC于點(diǎn)M，
∵AC為直徑，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵AB=AC
∴∠B=∠C                     
∴cos∠C=cos∠B=

5

5

，
∴BD=BC cos∠B=

8 5

5

，
∴DM=BDsin∠B=

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)，和等腰三角形的性質(zhì)，正確理解三角函數(shù)的定義是關(guān)鍵．