【題目】已知,如圖1在銳角△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE與AD交于點(diǎn)F.
(1)若BF=5,DC=3,求AB的長(zhǎng);
(2)在圖1上過點(diǎn)F作BE的垂線,過點(diǎn)A作AB的垂線,鏈條垂線交于點(diǎn)G,連接BG,得如圖2.
①求證:∠BGF=45°;
②求證:AB=AG+ AF.
【答案】
(1)解:如圖1中,
∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,△ADB是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,
∴∠AEF=∠BDF=90°,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠EAF=∠FBD,∵∠BDF=∠ADC=90°,
∴△BDF≌△ADC,
∴DF=DC=3,
在Rt△BDF中,BD= =4,
∴AB= BD=4
(2)①證明:如圖2中,設(shè)AB交GF于O.
∵∠GAO=∠OFB=90°,∠AOG=∠BOF,
∴△AOG≌△FOB,
∴ = ,
∴ = ,∵∠BOG=∠AOF,
∴△BOG∽△FOA,
∴∠BGO=∠OAF=45°,
∴∠BGF=45°.
②證明:如圖2中,在AB上截取AM=AG,則∠MGA=∠BGF=45°,
∴∠BCM=∠FCA,
∵BC= FG,GM= AC,
∴ = = ,
∴△BGM∽△FGA,
∴ = = ,
∴BM= AF,
∴AB=AM+BM=AG+ AF.
【解析】①根據(jù)題意得到△ADB是等腰直角三角形,得到AD=BD,得到△BDF≌△ADC,得到DF=DC=3,根據(jù)勾股定理求出BD =4,得到AB= BD=4 ;②在AB上截取AM=AG,則∠MGA=∠BGF=45°,得到∠BCM=∠FCA,得出△BGM∽△FGA,求出BM= AF,求出AB=AM+BM=AG+ AF.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校初三學(xué)生進(jìn)行1500米長(zhǎng)跑體能測(cè)試,規(guī)定時(shí)間6.6分鐘為達(dá)標(biāo)成績(jī),甲、乙兩名同學(xué)的成績(jī)分別是5.8分鐘和7.5分鐘;以下表示兩位同學(xué)成績(jī)正確的是( 。
A.甲:-0.2,乙:+0.8B.甲:+0.8,乙:+0.9
C.甲:-0.8,乙:+0.9D.甲:+0.9,乙:-0.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與直線相交于兩點(diǎn),且拋物線經(jīng)過點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)、點(diǎn)重合),過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
①當(dāng)時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo);
② 是否存在點(diǎn)使為等腰三角形,若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合題如圖,D是BC上一點(diǎn),若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的長(zhǎng).
(1)已知:x= +1,y= ﹣1,求 的值;
(2)如圖,D是BC上一點(diǎn),若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列定義:順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形,下列說法:
①如圖①,四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.
②如圖②,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點(diǎn)E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形
③在(2)中增加條件∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,則中點(diǎn)四邊形EFGH是正方形
其中,正確的有( )
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在菱形ABCD中,E、F分別在BC和CD上,且△AEF是等邊三角形,AE=AB,則∠BAD等于( )
A.95°
B.100°
C.105°
D.120°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】只需用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上,其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是( )
A. 線段有兩個(gè)端點(diǎn) B. 兩點(diǎn)確定一條直線
C. 兩點(diǎn)之間,線段最短 D. 線段可以比較大小
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