Question

【題目】在平面直角坐標系中，點 的坐標為，以 A 為頂點的的兩邊始終與 軸交于 、兩點（在 左面），且．

（1）如圖，連接，當 時，試說明：．

（2）過點 作軸，垂足為，當時，將沿所在直線翻折，翻折后邊 交 軸于點 ，求點 的坐標.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)M點坐標為（0,3)或M點坐標為(0，—6).

【解析】

試題(1)根據(jù)題目中角的度數(shù)，求出∠BAO=∠ABC=67.5°，利用等腰三角形的性質即可得出結論；

(2)根據(jù)題意，可知要分兩種情況，即當點C在點D右側時或當點C在點D左側時，利用勾股定理即可得出M點坐標.

試題解析：

（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB= 67.5°.

過點A作AE⊥OB于E，則△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°.

∵AB=AC，AE⊥OB，

∴∠BAE=∠BAC=22.5°.

∴∠BAO=67.5°=∠ABC

∴OA=OB，

（2）設OM=x.

當點C在點D右側時，連接CM，過點A作AF⊥y軸于點F，

由∠BAM=∠DAF=90°可知：∠BAD=∠MAF；

∵AD=AF=6，∠BDA=∠MFA=90°，

∴△BAD≌△MAF.

∴BD=FM=6—x.

∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，

∴△BAC≌△MAC.

∴BC=CM=8—x.

在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，

解得：x=3，∴M點坐標為（0,3）.

當點C在點D左側時，連接CM，過點A作AF⊥y軸于點F，

同理，△BAD≌△MAF，∴BD=FM=6+x.

同理，△BAC≌△MAC，∴BC=CM=4+x.

在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2+OM2=CM2，即，

解得：x=6，∴M點坐標為（0，—6）