Question

如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點E落在CB的延長線上點F處，點C落在點A處.再將線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，連接EF，CG.

(1)求證：EF∥CG；

(2)求點C，點A在旋轉(zhuǎn)過程中形成的，與線段CG所圍成的陰影部分的面積.

Answer 1

(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=AD=2，∠ABC=90°.

∵△BEC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF，

∴△ABF≌△CBE，

∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，∴∠AFB+∠FAB=90°.

∵線段AF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段FG，

∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，AF=FG，

∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG.

∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG，

∴四邊形EFGC是平行四邊形，

∴EF∥CG.

(2)∵△ABF≌△CBE，∴FB=BE=AB=1，

∴AF==.

在△FEC和△CGF中，

∵EC=FG，∠ECF=∠GFC，F(xiàn)C=CF，

∴△FEC≌△CGF，∴S_△FEC=S_△CGF.

∴S_陰影=S_扇形BAC+S_△ABF+S_△FGC-S_扇形FAG

=+×2×1+×(1+2)×1-

=-(或).