Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16cm，DC=12cm，AD=21cm．動點P從點D出發(fā)，在線段DA上以每秒2cm的速度向點A運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1cm的速度向點B運動，點P、Q分別從點D、C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t（秒）．
（1）PD=

 

，BQ=

 

（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當t為何值時，△QBP≌△APB；
（3）是否存在這樣的t，使PB平分∠APQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點P、Q的運動速度可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)AD∥BC可知∠APB=∠QBP，再由BP=PB，可知當BQ=PA時△QBP≌△APB，故可得出t的值；
（3）根據(jù)PB平分∠APQ可知∠APB=∠QPB，由平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠QBP，故可得出QP=QB．作QH⊥AD，在Rt△PHQ中根據(jù)勾股定理可得出t的值．

解答：解：（1）∵動點P從點D出發(fā)，在線段DA上以每秒2cm的速度向點A運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1cm的速度向點B運動，
∴PD=2t，BQ=16-t．
故答案為：2t，16-t；                               

（2）∵AD∥BC，
∴∠APB=∠QBP．
又∵BP=PB，
∴當BQ=PA時，△QBP≌△APB，即16-t=21-2t，解得t=5；

（3）存在．
理由：∵PB平分∠APQ，
∴∠APB=∠QPB．
∵∠APB=∠QBP，
∴∠QPB=∠QBP，
∴QP=QB．                                       
作QH⊥AD，可得QH=12，PH=t
∴PQ²=12²+t²                                  
由QP²=QB²得12²+t²=（16-t）²                    
解得t=

7

2

．
∴存在這樣的t=

7

2

，使PB平分∠APQ．

點評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．