Question

如圖，直線l交y軸于C點，與x軸交于D（-4，0），與直線y=-2x+2交于P點，點A為y=-2x+2與y軸的交點，PA=PC，雙曲線y=

k

x

（x＜0）與直線l交于E、F兩點，且EF=

5

，求k的值．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：先求得OA、OB、OD，然后根據(jù)等邊對等角求得∠PAC=∠PCA，進(jìn)而求得∠OAB=∠PCA，通過三角形相似得出OC，即可得出直線l為：y=2x+8，聯(lián)立方程得出
2x²+8x-k=0，設(shè)E（x₁，

k

x1

），F(xiàn)（x₂，

k

x2

），即可得出x₁+x₂=-4，x₁x₂=-

k

2

，然后根據(jù)勾股定理得出含k的方程，解方程即可求得k的值．

解答：解：由直線y=-2x+2可知A（0，2），B（1，0），
∵PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
∴∠OAB=∠PCA，
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴△COD∽△AOB，
∴

OC

OA

=

OD

OB

，
∵D（-4，0），A（0，2），B（1，0），
∴OD=4，OA=2，OB=1，
∴OC=

4

1

×2=8，
∴C（0，8），
∵直線l交y軸于C點，與x軸交于D（-4，0），
∴直線l為：y=2x+8，
解

y=2x+8 y= k x

得，2x²+8x-k=0，
設(shè)E（x₁，

k

x1

），F(xiàn)（x₂，

k

x2

），
∴x₁+x₂=-4，x₁x₂=-

k

2

，
∵EF=

5

，
∴（x₁-x₂）²+（

k

x1

-

k

x2

）²=5，
5（x₁-x₂）²=5，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1，
（-4）²-4×（-

k

2

）=1，解得k=-

15

2

點評：本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，交點和系數(shù)的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．