Question

如圖，點(diǎn)B₁是邊長為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，以O(shè)B₁為一邊，構(gòu)造等邊△OB₁A₁（點(diǎn)O，B₁，A₁按逆時(shí)針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點(diǎn)B₂是△OB₁A₁的兩條中線的交點(diǎn)，再以O(shè)B₂為一邊．構(gòu)造等邊△OB₂A₂（點(diǎn)O，B₂，A₂按逆時(shí)針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，…
（1）求OB₁的長；
（2）直接寫S_△OA1B1及S_△OA2B2的值（不要求寫過程）；
（3）當(dāng)?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合時(shí)，構(gòu)造停止，則構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)題意求出OC=

1

2

OA=

1

2

，即可得出OB₁=

OC

cos30°

=

3

3

；
（2）根據(jù)等邊三角形的面積求出S△OA1B1=

3

12

；再求出OB₂=

1

3

，即可求出S△OA2B2=

3

4

OB22；
（3）由（1）（2）得出規(guī)律，得出S△OA10B10=(

1

3

)10S_△ABC．

解答：解：（1）∵B₁是邊長為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B₁是△OBA的重心，也是內(nèi)心，也是外心，
∴∠B₁OB₂=30°，OC=

1

2

OA=

1

2

，
∴OB₁=

OC

cos30°

=

1 2

3 2

=

3

3

；
（2）S△OA1B1=

3

4

OB12=

3

12

；
∵OB₂=

1 2 OB1

cos30°

=

1

3

，
∴S△OA2B2=

3

4

OB22=

3

4

×

1

9

=

3

36

；

（3）∵點(diǎn)B₁是邊長為1的等邊△OBA的兩條中線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B₁是△OBA的重心，也是內(nèi)心，
∴∠BOB₁=30°，
∵△OB₁A₁是等邊三角形，
∴∠A₁OB=60°+30°=90°，
∵每構(gòu)造一次三角形，OB_i 邊與OB邊的夾角增加30°，
∴還需要（360-90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OB_nA_n的邊OA_n與等邊△OBA的邊OB第一次重合，
∴構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形為等邊△OB₁₀A₁₀，
∵S△OA1B1=

1

3

S_△ABC，S△OA2B2=

1

3

S△OA1B1=(

1

3

)2S_△ABC，…，
∴S△OA10B10=(

1

3

)10S_△ABC=

3

4×310

；
故答案為：

3

4×310

．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定難度．特別是第（3）問中，根據(jù)條件判斷構(gòu)造出的最后一個(gè)三角形為等邊△OB₁₀A₁₀及利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出△OB₁A₁與△OBA的面積比為

1

3

，進(jìn)而總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．