Question

如圖：⊙M在直角坐標系中，圓心M在y軸正半軸上，弧AB所對的圓心角是120°，⊙M的半徑是2cm．
（1）求點M的坐標．
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式．
（3）點D是弦AB所對的優(yōu)弧上一動點，求四邊形ACBD面積的最大值．
（4）在（2）中的拋物線上是否存在一點P，使得點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似？若存在求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結OA、OB，根據垂徑定理由OC⊥AB得弧AC=弧BC，則∠AMC=∠BMC，由于∠AMB=120°，所以∠AMC=60°，在Rt△AMO中，∠MAO=30°，AM=2，根據含30度的直角三角形三邊的關系得OM=

1

2

AM=1，則M點的坐標為（0，1）；
（2）在Rt△AMO中根據含30度的直角三角形三邊的關系得OA=

3

，OC=1，則OB=OA=

3

，得到A點坐標為（-

3

，0），B點坐標為（

3

，0），C點坐標為（0，-1），然后利用待定系數(shù)法確定過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=

1

3

x²-1；
（3）由于四邊形ACBD面積=S_△ABC+S_△ABD，S_△ABC=

3

，則當S_△ABD最大時，四邊形ACBD面積最大，而當點D為弦AB所對的優(yōu)弧的中點時，S_△ABD最大，最大值=

1

2

×2

3

×3=3

3

，于是得到四邊形ACBD面積的最大值為4

3

；
（4）先得到△ABC為頂角為120°的等腰三角形，則當點P、A、B為頂點的三角形為頂角為120°的等腰三角形時，與△ABC相似，由于C點為拋物線的最低點，則點P在x軸上方的拋物線上，分類討論：當∠ABP=120°，且BA=BP=2

3

時，△BAP∽△CAB，作PH⊥x軸于H，易得∠PBH=60°，∠BPH=30°，則BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，所以P點坐標為（2

3

，3），當∠BAP=120°，且AB=AP=2

3

時，△ABP∽△CAB，同理可得P點坐標為（-2

3

，3）．

解答：解：（1）連結OA、OB，如圖，
∵OC⊥AB，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AMC=∠BMC，
∵弧AB所對的圓心角是120°，即∠AMB=120°，
∴∠AMC=60°，
在Rt△AMO中，∠MAO=30°，AM=2，
∴OM=

1

2

AM=1，
∴M點的坐標為（0，1）；
（2）在Rt△AMO中，∠MAO=30°，OM=1，
∴OA=

3

，OC=1，
∴OB=OA=

3

，
∴A點坐標為（-

3

，0），B點坐標為（

3

，0），C點坐標為（0，-1），
設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x+

3

）（x-

3

），
把C（0，-1）代入得-3a=-1，解得a=

1

3

，
∴過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=

1

3

（x+

3

）（x-

3

）=

1

3

x²-1；
（3）∵四邊形ACBD面積=S_△ABC+S_△ABD，
而S_△ABC=

1

2

×1×2

3

=

3

，
∴當S_△ABD最大時，四邊形ACBD面積最大，
∴當點D為弦AB所對的優(yōu)弧的中點時，S_△ABD最大，最大值=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∴四邊形ACBD面積的最大值為4

3

；
（4）存在．
∵OC=OM=1，OA⊥MC，
∴△MAC為等邊三角形，
∴∠ACO=60°，AC=AM=2，
∴△ABC為頂角為120°的等腰三角形，
∴當點P、A、B為頂點的三角形為頂角為120°的等腰三角形時，與△ABC相似，
C點為拋物線的最低點，則點P在x軸上方的拋物線上，
當∠ABP=120°，且BA=BP=2

3

時，△BAP∽△CAB，
作PH⊥x軸于H，∠PBH=60°，∠BPH=30°，
∴BH=

1

2

PB=

3

，PH=

3

BH=3，
∴P點坐標為（2

3

，3），
當∠BAP=120°，且AB=AP=2

3

時，△ABP∽△CAB，同理可得P點坐標為（-2

3

，3），
∴滿足條件的P點坐標為（2

3

，3）、（-2

3

，3）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和二次函數(shù)的性質；會運用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，會利用相似比和含30度的直角三角形三邊的關系進行幾何計算．